Чистосердечные десятичные репдиджиты

[Ktina]

Назовём целое число десятичным репдиджитом, если все его десятичные цифры одинаковы.
Назовём десятичный репдиджит чистосердечным, если он представим в виде суммы квадрата факториала и куба факториала. Иными словами, имеет вид

$$(m!)^2+(n!)^3$$

, где $m$ и $n$ - натуральные числа.
Найти все чистосердечные десятичные репдиджиты и доказать, что других нет.

[grizzly]

2 и 44 можно получить в результате устной проверки чисел до 5. $n$ после 5 можно уже не смотреть -- последние нули нечем крыть, а $m$ можно ещё на коленке до 10 посчитать (дальше по тем же причинам смысла нет). Впрочем, и в том и в другом случае можно большие числа не вычислять, а обратить внимание только на различие первых цифр, что при известной сноровке тоже можно в уме.

UPD. Ну 5 и 9 тоже, конечно :)

[Ktina]

grizzly в сообщении #963698 писал(а):

... , а $m$ можно ещё на коленке до 10 посчитать...

В этом нет необходимости. Если хотя бы одно из чисел $m$ и $n$ не меньше 5, то квадрат (куб) его факториала оканчивается как минимум двумя нулями.

[grizzly]

Ktina в сообщении #963851 писал(а):

В этом нет необходимости.

Да, конечно. Это у меня когда считающие шестерёнки запускаются, потом никак останавливаться не хотят :) А глупая привычка всё решать только в уме иногда плохо уживается с ясностью мысли.