касательный вектор комплекснозначной функции

[hsidhv]

Доброго времени суток. Сейчас изучаю тфкп и столкнулся с проблемой непонимания значения производной комплекснозначной функции, а именно, что это такое и зачем она нужна? Когда речь шла о производной обычной функции в вещественной области, то там все более-менее понятно. Там в каждой точке графика функции торчал касательный вектор, и угол между ним и положительным направлением оси переменной в тангенсе давал значение производной в этой точке, то есть значение приращения функции. Тут же все по другому. Даже если к кривой в точке нарисовать касательный вектор, то что потом с ним делать. Смотреть углы между ним и осями нет смысла. В комплексной области нет понятия больше или меньше, а значит и нет понятия приращения. Производная тоже дает какую-то кривую, которая ничего не показывает. Зачем вообще тогда нужна производная комплекснозначной функции и в чем ее геометрический смысл?

[provincialka]

hsidhv в сообщении #961951 писал(а):

Производная тоже дает какую-то кривую,

Какую? Не дает.

Если рассматривать комплексную функцию как преобразование плоскости, то для дифференцируемой функции в малом оно похоже на линейное. То есть поворот плюс растяжение/сжатие. Так вот, производная как раз это показывает. Модуль производной - коэффициент подобия, а аргумент - угол поворота.

[hsidhv]

Извиняюсь, но не совсем понял, что значит малом, линейное и растяжение/сжатие? Не могли бы пояснить?) А на счет производной функции, она ведь является суммой производных действительной и мнимой частей, а значит тоже представляет из себя какую-то кривую, разве нет?

[provincialka]

hsidhv в сообщении #962008 писал(а):

А на счет производной функции, она ведь является суммой производных действительной и мнимой частей, а значит тоже представляет из себя какую-то кривую, разве нет?

А что такое "кривая"? Это в первую очередь одномерная фигура, например, $x=x(t), y=y(t)$. А у вас разве есть один параметр, через который выражается "производная"?

hsidhv в сообщении #962008 писал(а):

не совсем понял, что значит малом, линейное и растяжение/сжатие?

Сначала надо понять, что такое отображение (преобразование) плоскости. Точка $z=x+iy$ переходит в точку $w=u + iv$. Соответственно, область плоскости $Oxy$ переходит в область плоскости $Ouv$.

Вам надо сначала подумать, какое преобразование задает функция $w=az$, где $a$ - комплексная константа.

[Legioner93]

В любом учебнике по ТФКП это рассказывается. Читать пробовали? Глава "Конформные отображения"

[provincialka]

Legioner93
Может у них сокращенный курс. Туда такие умные понятия не входят.
Но учебник читать надо!

[Legioner93]

(Оффтоп)

provincialka
А что ж тогда вообще в ТФКП рассказывают? Только необходимую базу для вычисления несобственных интегралов определённого вида?

[provincialka]

(Оффтоп)

Legioner93
Ну да. Ряды Лорана и венец всего - вычет. Я, правда, все равно говорю про конформные отображения, про римановы поверхности... Но не уверена, что воспринимают.

[hsidhv]

Учебника нет,готовлюсь по лекциям, так что прошу прощения за такие тупые вопросы.
Если я правильно понял, то при раскрытии функции с константой получится сумма двух функций от двух переменных. Они будут определять положение точки с координатами х,у в комплексной плоскости Ouv, так?

[provincialka]

hsidhv в сообщении #962067 писал(а):

при раскрытии функции с константой получится сумма двух функций от двух переменных.

Не надо так. Используйте тригонометрическое (или экспоненциальное) представление. Модуль и аргумент числа $a$ -- как они влияют на результат?

hsidhv в сообщении #962067 писал(а):

Учебника нет

Здрасьте! А интернет на что?

[hsidhv]

Если в показательной форме рассматривать, то получается новый вектор, амплитуда которого больше в |а| раз, и который повернут на arg (a) относительно z, так?

[provincialka]

hsidhv в сообщении #962090 писал(а):

Если в показательной форме рассматривать, то получается новый вектор, амплитуда которого больше в |а| раз, и который повернут на arg (a) относительно z, так?

Ага. Сравните:

provincialka в сообщении #962001 писал(а):

Так вот, производная как раз это показывает. Модуль производной - коэффициент подобия, а аргумент - угол поворота.

Только оформляйте формулы, а то в Карантин снесут.

[hsidhv]

И еще, не совсем понятно, причем там z и а? Мы ведь z должны получить от какой-то действительной переменной.

[maxmatem]

hsidhv
Нет учебника , нет интернета сходите и купите учебник по тфкп. А то разговор просто бесмысленен тк вы не знаете даже конформных преобразований... Но это поправимо

[provincialka]

hsidhv в сообщении #962107 писал(а):

Мы ведь z должны получить от какой-то действительной переменной.

Чего?