Компактность оператора Гильберта-Шмидта

[demolishka]

В доказательстве компактности оператора Гильберта-Шмидта используется такой факт: если $\{\varphi_n(x)\}$ - ортогональная система в $L^2([a;b])$, то $\{\varphi_n(x) \cdot \varphi_m(y)\}$ - ортогональная система в $L^2([a;b]^2)$. Ввиду того, что я не смог найти доказательство этого факта, у меня возник вопрос: остается ли этот факт верным для бесконечных промежутков? То есть, например, если $K \in L^2( [a;+\infty) \times [a;+\infty) )$, то будет ли интегральный оператор $T: L^2[a;+\infty) \to L^2[a;+\infty)$ с ядром $K$ компактным?

[Oleg Zubelevich]

demolishka в сообщении #960457 писал(а):

стается ли этот факт верным для бесконечных промежутков? То есть, например, если $K \in L^2( [a;+\infty) \times [a;+\infty) )$, то будет ли интегральный оператор $T: L^2[a;+\infty) \to L^2[a;+\infty)$ с ядром $K$ компактным?

да

[ewert]

demolishka в сообщении #960457 писал(а):

Ввиду того, что я не смог найти доказательство этого факта, у меня возник вопрос: остается ли этот факт верным для бесконечных промежутков?

Естественно, остаётся. Там всё сводится к теореме Фубини, а она верна и для бесконечных промежутков.