Кто меньше?

[Ktina]

Попалась на глаза задачка.
Существуют ли четыре последовательных натуральных числа, каждое из которых делится на квадрат какого-либо целого числа, отличного от 1?

У меня получились такие числа: 14748, 14749, 14750, 14751.

Объясняю ход своих мыслей. Три таких числа найти легко: 48, 49, 50. Далее можно, к примеру, приписать к каждому из них слева такое число, чтобы делилось на 49 и давало либо остаток 3, либо остаток 7 при делении на 9.
В этом случае число "...49" будет по-прежнему делиться на 49, а число "...48" всегда делится на 4 и число "...50" всегда делится на 25.
Кроме того, одно из чисел "...47" или "...51" будет кратно 9.

А теперь, кто меньше? Кто назовёт меньшую четвёрку чисел с требуемым в задаче свойством?

[grizzly]

А ход моих мыслей был такой:
перебрать немного в уме и что-то да попадётся. Небольшие множители будут попадаться с большей вероятностью, поэтому лучше перебирать кратные квадратам 7, 11, 13. Быстренько пробежавшись с кратными 49 уже на 245 увидим нужную четвёрку: 242, 243, 244, 245.

[fiviol]

А вот пять подряд таких чисел: 3624, 3625, 3626, 3627, 3628. За минимальность не ручаюсь. Начал с четверки 24, 25, 27, 28, а потом прибавлял к 26 числа, кратные 900, пока на 49 не поделилось.

[12d3]

(Ответы)

Минимальная пятерка 844,845,846,847,848.
Шестерка 22020,22021,22022,22023,22024
семерка 217070-217076
восьмерка 1092747-1092754
девятка 8870024-8870032

[Aritaborian]

Машинным перебором найдена пятёрка, начинающаяся с числа $844$ и полудюжина, начинающаяся с $22020$.

(Страшненький код на Wolfram Language)

With[{n = 10^5, k = 6}, First@Select[Range[n], (Union[SquareFreeQ /@ Range[#, # + k - 1]] == {False}) &]]

Этого хватило для того, чтобы найти соответствующую последовательность в OEIS: A045882.