Функции случайных величин #3

[Limit79]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, найти ошибку в моем решении.

Случайная величина $X$ имеет равномерное распределение на интервале $(0;1)$. Найти распределение величины $Y=\ln(X)$.

По условию $f(x) = 1, \quad x \in (0;1)$, и ноль вне этого интервала.

Функция $y=\ln(x)$ монотонна при $x \in (0;1)$.

$$y=\ln(x) \Rightarrow x=\psi(y)=e^{y}$$

$$g(y) = f(\psi(y)) \cdot |\psi'(y)| = e^{y} \cdot e^{y} = e^{2y}$$

Плотность с.в. $Y$ будет

$$g(y) = e^{2y}, \quad y \in (-\infty;0)$$

и ноль вне этого интервала.

Все бы хорошо, но условие нормировки для $g(y)$ не соблюдается (получается $\frac{1}{2}$).

Подскажите, пожалуйста, где я потерял эту двойку...

Двойка могла бы вылезти в том случае, если бы функция была бы не монотонна, тогда было бы как раз $e^{2y} + e^{2y}$, но она же монотонна и разбивать заданный интервал не нужно...

Спасибо!

[Otta]

Кто-то что-то куда-то подставлять не умеет.

[Limit79]

Otta
Спасибо!