Непрерывный аналог дискретного геометрического распределения

[druggist]

Для p (вероятности успеха) много меньше единицы геометрическое распределение замечательно аппроксимируется непрерывной экспонентой. А есть ли непрерывный аналог или его подобие для p порядка единицы?

[ex-math]

О каком подобии речь, если с.в. принимает, по существу, одно значение?

[druggist]

https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%93%D0 ... 0%B8%D0%B5
Имеется в виду Функция вероятности:


случай, когда p близко к единице, но не равно, естественно.

[--mS--]

В каком смысле "аппроксимируется"? "Функция" вероятностей - это не непрерывная функция, а набор чисел $pq^n$, $n=0,\,1,\,\ldots\,$. Если хотите, $pq^n=pe^{-n\ln (1/q)}$ независимо от того, далеко $p$ от единицы или близко.

[druggist]

$q=p-1$,если $p$ много меньше единицы, то логарифм раскладывается в ряд и имеем $pe^_-pn$. Полагая n непрерывно меняющейся переменной от 0 до бесконечности имеем теперь непрерывную функцию вероятности(экспонентциальную)(она также нормирована на единицу), совпадающую при целых n c дискретной фв(геометрической). А вот если p "близко" от единицы мы такого соответствия при замене n непрерывной величиной не получим, такая непрерывная ф-я от n будет при целых n совпадать с геом.фв, но она не нормирована на единицу, т.е., не является фв и соответственно аналогом геометрического распределения. Я полагал это общеизвестным

[--mS--]

druggist в сообщении #959365 писал(а):

$q=p-1$,

Ну, почти...

Непонятным остаётся, чего Вы хотите добиться? Какой смысл и какое новое знание в том, что вероятности у целочисленного распределения совпадут со значениями плотности некоторого непрерывного распределения в целых точках? По мне так никакого (никаких).

Любое геометрическое распределение является дискретным аналогом экспоненциального уже тем, что целая часть случайной величины с показательным распределением с плотностью $\alpha e^{-\alpha x}$ ($x>0$) имеет геометрическое распределение с параметром $p=1-e^{-\alpha}$.

(Оффтоп)

Не говоря уже о том, что все это

druggist в сообщении #959365 писал(а):

то логарифм раскладывается в ряд и имеем $pe^_-pn$.

никакого математического смысла не несёт. Вы при фиксированном $p$ заменяете логарифм на $-p$? Куда остаток делся? Ничего, что при умножении на $n$ он всё больше и больше становится?

[Lia]

druggist
Оформляйте термы (одиночные символы). Они сливаются с текстом, особенно в таком количестве. Устное замечание.

[druggist]

--mS-- в сообщении #959378 писал(а):

druggist в сообщении #959365 писал(а):

$q=p-1$,

Ну, почти...

...Вы при фиксированном $p$ заменяете логарифм на $-p$? Куда остаток делся? Ничего, что при умножении на $n$ он всё больше и больше становится?[/off]

Да, конечно же, $q=1-p$

Не понял, при малых $p$ имеем $-ln(1/q)=ln(1-p)\approx -p$ и получаем $pe^ _-pn$ в точности экспоненциальное распределение с единственным параметром $p$, ср.:
Плотность вероятности
$\lambda e^_-\lambda t$



p.s. Очевидно, если при изменении аргумента на единичку функция относительно мало меняется, то, грубо говоря, "дискретное мало отличается от непрерывного". В случае $p\simeq 1$ при изменении $n$ c $0$ на $1$ это далеко не так.

[--mS--]

druggist в сообщении #959387 писал(а):

Не понял, при малых $p$ имеем $-\ln(1/q)=\ln(1-p)\approx -p$ и получаем $pe^{-pn}$ в точности экспоненциальное распределение с единственным параметром $p$, ср.:

Что значит "получаем"? Что означает Ваше "примерно"? Скажем, при $p=0,1$ и $n=1000$ величины $-np$ и $n\ln(1-p)$ различаются более чем на $5$, дальше - больше. Соответственно, и $pe^{-pn}$ и $pq^n$ различаются более чем в пять раз, и с дальнейшим ростом $n$ их отношение вообще стремится к бесконечности.

Кроме того, Вы так и не ответили на основной вопрос:

--mS-- в сообщении #959378 писал(а):

Непонятным остаётся, чего Вы хотите добиться? Какой смысл и какое новое знание в том, что вероятности у целочисленного распределения совпадут со значениями плотности некоторого непрерывного распределения в целых точках?

(Оффтоп)

И, пожалуйста, посмотрите в моём сообщении, как следует набирать в $\LaTeX$ логарифм и степень.

[druggist]

--mS-- в сообщении #959411 писал(а):

Кроме того, Вы так и не ответили на основной вопрос:

В статфизике, например, дискретная функция вероятности может показывать среднее число или долю от полного числа частиц, в среднем находящихся в ячейке с номером $n$. При некоторых значениях параметра ($p$) распределения мы можем, например, при вычислении полного числа частиц или энергии заменить суммирование интегрированием по $n$, считая $n$ непрерывной величиной, а при других - не можем. Я хотел подчеркнуть это обстоятельство и уточнить, как быть в этом случае.

[ex-math]

Можем заменить там, где ошибка этой операции меньше, чем ее результат. Если не можете заменить в лоб, надо смотреть асимптотику суммы. Вряд ли тут есть универсальный рецепт, поэтому будет больше толку, если Вы приведете здесь Вашу задачу.

-- 10.01.2015, 16:39 --

Вообще говоря, это чисто аналитическая задача и вероятность тут ни при чем.