2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Преобразование Фурье (плотности, хар. ф-ции, однозначность)
Сообщение27.09.2007, 05:59 
Пусть имеется некоторая "хорошая" функция $\phi(t)$, и пусть ее преобразование Фурье, определенное как $p(x)=\frac{1}{2\pi}\int \phi(t)e^{-itx}dt$ является плотностью некоторого вероятностного распределения, то есть $p(x)$ неотрицательна и ее интеграл равен 1. Верно ли тогда, что $\phi(t)$ обязана быть преобразованием Фурье плотности $p(x)$? Верно ли более общее утверждение: если преобразования Фурье функций равны, то и сами функции равны?

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 06:15 
Аватара пользователя
Юстас писал(а):
Верно ли тогда, что $\phi(t)$ обязана быть преобразованием Фурье плотности $p(x)$?

Юстас писал(а):
Верно ли более общее утверждение: если преобразования Фурье функций равны, то и сами функции равны?

Есть обратное преобразование Фурье, и классическая теорема об условиях, при которых это обратное преобразование однозначно восстанавливает исходную функцию. См., например, Колмогоров А.Н., Фомин С.В. — Элементы теории функций и функционального анализа

 
 
 
 
Сообщение27.09.2007, 17:14 
Тут, скорее, надо почитать про характеристические функции распределений (так как речь шла о плотности вероятности). Советую посмотреть Ширяева А.Н. "Вероятность" (да можно и любую другую книгу по теории вероятностей) - там подробно рассмотрены интересующие Вас вопросы. В частности, доказывается теорема единственности, которая утверждает, что если две функции распределения имеют одну и ту же характеристическую функцию, то они совпадают.

 
 
 
 
Сообщение28.09.2007, 05:42 
В Колмогорове все замечательно описано, я нашел все что было интересно.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group