Найти функцию. 10 класс. (диффур)

[melnikoff]

Найдите функцию $y(x)$, если точка $A(1; 2)$ принадлежит ее графику и отрезок касательной между точкой касания и осью $X$ делится пополам в точке пересечения с осью $Y$.

Решение:

Из условия следует, что искомая функция является строго монотонной и при этом она не пересекает ни ось OX, ни ось OY. Следовательно график искомой функции находится в 1-м квадранте системы координат.
$y'(x)=\frac{y(x)}{2x}$
$\frac{1}{2x}=\frac{y'(x)}{y(x)}$
$\frac{1}{2x}=(\ln y(x))'$
$\ln y(x)=\int \frac{dx}{2x}=\frac{1}{2}\ln x+\ln C$
$\ln y(x)=\ln Cx^{\frac{1}{2}}$
$y(x)=Cx^{\frac{1}{2}}$.
Правильно? Ничего не упустил?
Подставим начальные условия:
$2=y(1)=C\cdot 1^{\frac{1}{2}} \Rightarrow C=2.$
Окончательно получаем $y(x)=2 \sqrt{x}.$

Все правильно?

[maxmatem]

Задача достаточно известная на составление дифференциального уравнения.

Проверять лень, но дифур должен быть
$x\frac{dy}{dx}=2y$ и начальное условие $y(1)=2$ Классическая задача Коши.

[provincialka]

Ответ верный. В решении можно придраться разве что к "необаботке" частного случая $y=0$, который, впрочем, потом все равно включается в общее решение. Но для решения задачи Коши это несущественно.

[Aritaborian]

Прошу прощения, но... А как давно дифуры и задача Коши прописались в программе десятого класса?

[Lia]

Люди редко читают заголовки. )

[Aritaborian]

Милая Lia, дело даже не в заголовке, как можно было бы подумать. Ведь сам ТС решал дифур!

[Lia]

(Оффтоп)

Ой, и правда Ваша. )) Ну, ему можно, не он же в 10м классе.

[maxmatem]

Aritaborian

(Оффтоп)

Ну ТС решил дифур, вот я про Коши и сказал.......

[Алексей К.]

provincialka в сообщении #958843 писал(а):

В решении можно придраться разве что к...

Не "разве что"; если придираться по-настоящему, то можно ещё накопать! Вот тут коряво:

melnikoff в сообщении #958768 писал(а):

функция ... не пересекает ни ось OX, ни ось OY.

[melnikoff]

Aritaborian в сообщении #958902 писал(а):

Прошу прощения, но... А как давно дифуры и задача Коши прописались в программе десятого класса?

Это из домашки для 10 класса, заданной в 239-м физ-мат лицее. Это там, где учились Перельман и Смирнов.

-- 10.01.2015, 01:40 --

Алексей К., а что тут корявого?

[Aritaborian]

melnikoff, спасибо за разъяснения.

[Алексей К.]

melnikoff в сообщении #959344 писал(а):

а что тут корявого?

Ну Вы же сами написали, что точка $A(1; 2)$ принадлежит именно графику функции, а не функции.
Ну и с осями пересекается график, а не функция.

[melnikoff]

Алексей К., ах вот как!

[bot]

(Оффтоп)

Алексей К. в сообщении #959355 писал(а):

Ну и с осями пересекается график, а не функция.

Функция - это некоторое (не всякое) подмножество декартового произведения. И всё равно корябают функции, чего-нибудь пересекающие. Почему?

[ewert]

(Оффтоп)

bot в сообщении #1187266 писал(а):

Функция - это некоторое (не всякое) подмножество декартового произведения. И всё равно корябают функции, чего-нибудь пересекающие. Почему?

Почему почему?

Если формально определять функцию как подмножество, то она, безусловно, чего-нибудь да пересечёт.