Электростатика в среде

[Omega]

Уважаемые форумчане, всех с Новым 2015!
Возвращаясь к вопросу: хочу разобраться со следующей задачей...

Однородный шар радиуса $a$ с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon_{1}$ погружен в однородный неограниченный диэлектрик $\varepsilon_{2}$. На большом расстоянии от шара в диэлектрике имеется однородное электрическое поле $\mathbf{E}_{0}$. Найти потенциал и напряженность электрического поля во всем пространстве, а также распределение зарядов на шаре.

Опуская решение, приведу свой ответ в сферических координатах:

$$\begin{cases} \varphi_{1}=-\dfrac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0}R \cos{\theta}; \,\,\, R\leqslant a \\ \varphi_{2}=-E_{0}R \cos{\theta}+\dfrac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}\dfrac{E_{0}a^{3}\cos{\theta}}{R^{2}} ; \,\,\, R\geqslant a \end{cases}$$

И электрическое поле:

$$\begin{cases} \mathbf{E}_{1}=-\dfrac{3\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}\mathbf{E}_{0}; \,\,\, R<a \\ \mathbf{E}_{2}=\mathbf{E}_{0}+\dfrac{3(\mathbf{d},\mathbf{R})\mathbf{R}}{R^{5}}-\dfrac{\mathbf{d}}{R^{3}}; \,\,\, R> a \end{cases}$$

Здесь $\mathbf{d} = \dfrac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}a^{3}\mathbf{E}_{0} $ - дипольный момент шара.

Теперь, что касается вопроса: как известно, поверхностная плотность связанных зарядов $\sigma_{\text{св}}$ на границе раздела двух сред определяется формулой - $\sigma_{\text{св}} = \left. P_{1n}\right|_{R=a} - \left. P_{2n}\right|_{R=a}$.
Ну так вот, учитывая, что $\mathbf{D}=\mathbf{E}+4\pi\mathbf{P}$ и то, что $\left. E_{2n}\right|_{R=a} - \left. E_{1n}\right|_{R=a} = 4\pi(\sigma_{\text{св}}+\sigma)$, я получаю

$$\sigma_{\text{св}}=\dfrac{3}{4\pi}\dfrac{\varepsilon_{1}-\varepsilon_{2}}{\varepsilon_{1}+2\varepsilon_{2}}E_{0}\cos{\theta}; \sigma=0$$

Никак не могу сообразить, как поступать, если изначально шар зарядили каким-нибудь зарядом? Каким образом тогда решать уравнение Лапласа?

[Munin]

Omega в сообщении #956652 писал(а):

Опуская решение, приведу свой ответ в сферических координатах:

Сложновато выглядит. А ответ известен: внутри шара поле однородно, а снаружи - определяется поверхностными зарядами, которые вычисляются из первого факта.

Omega в сообщении #956652 писал(а):

Никак не могу сообразить, как поступать, если изначально шар зарядили каким-нибудь зарядом? Каким образом тогда решать уравнение Лапласа?

Принцип суперпозции спасёт отца русской демократии.

[Omega]

Munin в сообщении #956686 писал(а):

Omega в сообщении #956652 писал(а):

Никак не могу сообразить, как поступать, если изначально шар зарядили каким-нибудь зарядом? Каким образом тогда решать уравнение Лапласа?

Принцип суперпозиции спасёт отца русской демократии.

То есть на вышеполученное решению необходимо "наложить" решение задачи "внесение заряженной сферы в однородное электрическое поле" ? Я правильно надеюсь Вас понял, Munin...

[Munin]

Да.

-- 05.01.2015 16:38:06 --

Тьфу, нет. В какое поле? Просто заряженная сфера, одна как перст. Внешнее поле ведь ушло в первое слагаемое суперпозиции.

[Omega]

Просто насколько я себе это представляю: при внесении заряженной сферы в электрическое поле, заряды перераспределяются на поверхности определённым образом, чтобы скомпенсировать поле внутри... В чём тогда смысл сферы, одной как "перст" ?!

[Munin]

Это зависит не от заряженности сферы, а от её проводимости. По металлической сфере заряды и вправду бегают туда-сюда по каждому чиху внешнего поля. А если сфера диэлектрическая, то подразумевается, что заряды на ней где налипли, там и сидят. На практике, конечно, часто бывает промежуточный случай: и диэлектрическая проницаемость есть, и проводимость какая-никакая, но не позволяющая зарядам долго на месте сидеть - проводимость утечки. Но в вашей задаче такого, вроде бы, не звучит.

[Omega]

Munin, спасибо. То есть итого и иными словами: нужно к ответу добавить поле от связанных зарядов на сфере. В общем-то это и так ясно.
Я просто постараюсь переформулировать вопрос: если же наш диэлектрический шар заменить на тонкостенную проводящую сферу с диэлектрическим наполнением, что измениться?
Верно, ведь ,что присутствие диэлектрика (тот, что внутри нашей сферы) в таком случае - уже не имеет значение, так как поле внутри проводников тождественно равно нулю, соответственно поляризоваться ничего и не может...?

[Munin]

Чёрт, а вот тут уже подумать надо, а мне не думается...

[Omega]

Munin,
Я вот думаю-думаю... Да вроде бы так и должно быть...

[amon]

Omega в сообщении #956784 писал(а):

так как поле внутри проводников тождественно равно нулю, соответственно поляризоваться ничего и не может...?

Вы правы. Рассуждение примерно такое (можно потом его обклеить математическими рюшечками). Решаем электростатическую задачу вне сферы. Потенциал сферы будет константой, поле внутри - нулем. Полный заряд поверхности сферы тоже будет 0. Тогда абсолютно не важно, что там делается внутри сферы.