интеграл

[Kornelij]

Взять интеграл

$$\int\limits_{0}^{1}{\frac{1-{{t}^{p}}}{\ln t}}dt$$

для $p>-1$.
В какую сторону копать? Этот интеграл не похож ни на один "типовой" (дробно-рациональные, тригонометрические и т.д.) Если делаю экспоненциальную замену $t=e^x,$ то выходит еще хуже, но как еще избавиться от логарифма? По частям тоже ничего хорошего - появляется двойной логарифм $\ln\ln t$. Ни к бета, ни к гамма-функциям тоже не сводится. Для разных $p>-1$ Wolfram выдает ответ, обобщив который, прихожу к выводу, что ответ должен получиться $-\ln (p+1)$. Но вот как его получить?..

[Otta]

Интеграл с параметром, что какбэ намекает на многообразие средств, которым можно его уговорить. Вы какие умеете?

[provincialka]

Через первообразную интеграл не берется. Только в этих "хороших" пределах.

[Limit79]

Третья страница должна натолкнуть на мысль (наверное на ту, которая имелась ввиду выше).

[provincialka]

Limit79
Нет, не то. Гамма- и Бета- функции тут не нужны. Проще все.

[Otta]

Ну, он про мысль. Мысль там есть. Хотя само присутствие параметра в интеграле должно наталкивать на эту мысль.

[Limit79]

provincialka
Мысль имелась немного другая... Может я в чем не прав, и много чего не учел, но у меня получился ответ из стартового поста.

[Ms-dos4]

Kornelij
Пусть $\[I = \int\limits_0^1 {\frac{{1 - {t^p}}}{{\ln t}}dt} \]$. Сосчитайте $\[\frac{{\partial I}}{{\partial p}}\]$ и отинтегрируйте обратно.

-- Вс янв 04, 2015 02:55:15 --

Limit79
Такие "глубокие" мысли вообще тут ни к чему

[Otta]

Ms-dos4
Ну не частную же.

[Pphantom]

Otta в сообщении #956070 писал(а):

Ну, он про мысль. Мысль там есть. Хотя само присутствие параметра в интеграле должно наталкивать на эту мысль.

Без мысли он, кстати, тоже берется. У меня вот сработали рефлексы разложения всего, что можно и нельзя, в ряды - все совершенно замечательно получается (особенно если вооружиться второй половиной той же 3-й страницы).

[Otta]

Там еще один хороший способ есть.

[provincialka]

Otta
Подозреваю, что мы думаем об одном и том же. Но давайте подождем до завтра.

[1r0pb]

Можно представить двойным интегралом и сменить порядок интегрирования(похоже, что последние сообщения об этом и есть ).

[provincialka]

1r0pb
Дайте же ТС-у самому подумать!

[Kornelij]

Limit79, третья страница ни на что не натолкнула. Ни к гамма, ни к бета-функции не свел (писал уже в первом посте). По частям пытался интегрировать (стр.3), но тоже уже писал, что двойной логарифм ничего хорошего не дает.

Ms-dos4, попытаюсь продифференцировать по $p$, но интуиция подсказывает, что не всегда можно производную вносить под знак интеграла. В связи с этим вопрос: где почитать о том, когда можно вносить? И еще вопрос: дифференецирование дает расходящийся интеграл $-\int\limits_{0}^{1}{\frac{p{{t}^{p-1}}dt}{\ln t}}$ - это нормально? Странно как-то. Или не туда копаю?

Pphantom, в ряд разложить интересная мысль. Наверное, имеется в виду, что разложить нужно $1/\ln t$?