Какую замену сделать?

[Kornelij]

Есть вот такой вот интригал:

$$\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{\sqrt[n]{1-{{x}^{n}}}}}$$

Методом научного тыка прихожу к выводу, что это

$$\frac{1}{n}B\left( \frac{1}{n};\ \frac{n-1}{n} \right)$$

но вот какую замену сделать, чтобы это показать? В определении бета-функции границы либо 0 и 1, либо 0 и $\infty$, а у меня ни при каких заменах такое не получаецца :( Например, при замене

$$\frac{1}{\sqrt[n]{1-{{x}^{n}}}}=t,\ \ \ x=\sqrt[n]{1-{{t}^{-n}}},\ \ \ dx={{\left( 1-{{t}^{-n}} \right)}^{\frac{1}{n}-1}}{{t}^{-n-1}}dt$$

получаем интеграл

$$\int\limits_{1}^{+\infty }{{{\left( 1-{{t}^{-n}} \right)}^{\frac{1}{n}-1}}{{t}^{-n-2}}dt}$$

и его границы никак на бета-функцию не похожи.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Приведите свои попытки решения.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

А основное-то определение Вам не понравилось?

[Kornelij]

Lia в сообщении #955540 писал(а):

А основное-то определение Вам не понравилось?

Тем, что там $1-t$, а у меня $t-1$ (если, например, в знаменателе из корня выносить $x^n$). Хотя, если сделать замену $t=x^n$... надо подумать....

[Lia]

А зачем его выносить? и так очень хорошо.

[Kornelij]

Lia в сообщении #955549 писал(а):

А зачем его выносить? и так очень хорошо.

Да, действительно, замена $t=x^n$ спасает отца русской демократии :)

[Утундрий]

Kornelij в сообщении #955501 писал(а):

Методом научного тыка

...интересное прозвище для Wolfram Mathematica.

[Red_Herring]

Kornelij в сообщении #955501 писал(а):

Есть вот такой вот интригал:

Интригал—самец интриги