Центр масс

[integer]

Как доказать, что $\vec { { r }_{ c } } =\frac { \Sigma { m }_{ i }\vec { { r }_{ i } } }{ m } $ является центром масс системы материальных точек?

[zvm]

Никак. Это определение. Точку с координатами, вычисленными таким образом, договорились называть центром масс.

[fronnya]

Точно не знаю, но может, взять какую- то произвольную плоскость, разбить её на эти точки, а потом рассмотреть её равновесие и наверное оттуда как-то можно наверняка выразить радиус- вектор из (в) ЦМ

[amon]

Попробуйте начать с утверждения: "Существует система отсчета, в которой полный импульс замкнутой механической системы равен нулю".

[iifat]

amon в сообщении #954836 писал(а):

полный импульс

Не очень понял, при чём тут импульс, если никакого движения в стартовом сообщении не просматривается?

-- 01.01.2015, 13:45 --

Равенство для $n$ точек выводится из равенства для двух по индукции, на всякий случай.

[Munin]

iifat в сообщении #955005 писал(а):

Не очень понял, при чём тут импульс, если никакого движения в стартовом сообщении не просматривается?

Само понятие центра масс нужно именно для рассмотрения движения. Если движения нет, то и понятия центра масс можно не вводить. (Можно ввести понятие центра тяжести, с другими целями.)

iifat в сообщении #955005 писал(а):

Равенство для $n$ точек выводится из равенства для двух по индукции, на всякий случай.

Совершенно незачем там обращаться к индукции, на всякий случай.

[Zai]

Очень интересно обобщение формулы когда скорости частиц близки к скорости света.

[Munin]

ЛЛ-2 § 14.

Релятивистское обобщение для системы невзаимодействющих частиц выглядит как $\vec{r}_c=\dfrac{\sum E_i\vec{r}_i}{\sum E_i},$ где $E_i$ - релятивистские энергии частиц $E=mc^2+K=mc^2/\sqrt{1-v^2/c^2}.$ Но это только для невзаимодействующих. Для взаимодействующих, необходимо учитывать энергию поля (взаимодействие в релятивистской физике бывает только через поле), и приплюсовать её к этой формуле, аналогично: $\dfrac{\int W\vec{r}\,dV}{\int W\,dV}.$ Эта точка называется уже не центром масс, а центром инерции (это название можно применять и в нерелятивистской физике).

Но на этом неприятности не заканчиваются. Дело в том, что эта точка вообще не имеет особого смысла. В одной ИСО это будет одна точка, а в другой ИСО - другая. Поэтому, особого смысла её вычислять и нет. Однако, скорость движения этой точки $\vec{v}_c=\dfrac{c^2\sum \vec{p}_i}{\sum E_i}$ - будет полноценной скоростью (для замкнутой системы частиц, пусть даже и взаимодействующих), так что вводить систему отсчёта центра инерции всё равно возможно, и она будет определена однозначно. Она часто называется с.ц.и. или ц-система (в отличие от лабораторной, л-системы).

-- 01.01.2015 08:08:27 --

"Всё уже украдено до нас."
Обращайтесь.

[integer]

Ну как все же доказать?

[amon]

integer в сообщении #955195 писал(а):

Ну как все же доказать?

Ну, поехали, только вместе. Есть две частицы с импульсами $\mathbf{p}_1=m_1\mathbf{v}_1$ и $\mathbf{p}_2=m_1\mathbf{v}_2$ в некоторой СО. С какой скоростью $\mathbf{V}$ должна двигаться система отсчета, что бы полный импульс этих частиц в ней был нулевым?

[profrotter]

Похожая тема topic62638.html