Неоднородная система диффуров

[Nurzery[Rhymes]]

Помогите найти ошибку в решении неоднородной системы. Условие:

$\left\{ \begin{array}{rcl} &\dot{x}=y-5\cos t& \\ &\dot{y}=2x+y& \\ \end{array} \right.$

Из первого уравнения выражаю $y=\dot{x}+5\cos t$, тогда $\dot{y}=\ddot{x}-5\sin t$.
Подставляю последнее равенство вместо левой части второго уравнения:

$\ddot{x}-5\sin t=2x+\dot{x}+5\cos t$

$\ddot{x}-\dot{x}-2x=5\cos t + 5\sin t$

Сразу вопрос: как решить это уравнение по-простому, не прибегая к методу Лагранжа вариации постоянных?

1) Решаю однородное уравнение:
${\lambda}^2 - \lambda - 2 = 0$
${\lambda}_1 = 2, {\lambda}_2 = -1$

Общее решение: $x=C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t}$

Дифференцирую общее решение по $t$ и подставляю в первое уравнение, чтобы выразить $y$:

$\dot{x}=2C_1 e^{2t} -C_2 e^{-t} \Rightarrow 2C_1 e^{2t} -C_2 e^{-t} = y - 5\cos t \Rightarrow $

$y = 2C_1 e^{2t} -C_2 e^{-t} + 5\cos t$

Имеем:

$x=C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t}$
$y = 2C_1 e^{2t} -C_2 e^{-t} + 5\cos t$

Применяем метод Лагранжа вариации постоянных:

$\dot{x}=C_{1}' e^{2t} + 2C_1 e^{2t} +C_{2}' e^{-t} -C_2 e^{-t}$

$\dot{y}=2C_{1}' e^{2t} + 4C_1 e^{2t} - C_{2}' e^{-t} +C_2 e^{-t} - 5\sin t$

Подставляем:

$C_{1}' e^{2t} + 2C_1 e^{2t} +C_{2}' e^{-t} -C_2 e^{-t} = 2C_1 e^{2t} -C_2 e^{-t} + 5\cos t - 5\cos t$

$C_{1}' e^{2t} + C_{2}' e^{-t} = -5\cos t - 5\sin t$

Здесь все лишнее сократилось хорошо, а вот здесь проблема:

$2C_{1}' e^{2t} + 4C_1 e^{2t} - C_{2}' e^{-t} +C_2 e^{-t} - 5\sin t = 2(C_1 e^{2t} + C_2 e^{-t}) + 2C_1 e^{2t} -C_2 e^{-t} + 5\cos t$

Уже сейчас видно, что все константы без штрихов не сократятся. Что здесь не так?

-- 26.12.2014, 22:36 --

Ой, я зря поднял переполох, там все сокращается, просто надо быть внимательным. Остается вопрос, как найти константы, не прибегая к таком тяжеловесному методу...

[Ms-dos4]

Не нужен тут никакой метод Лагранжа. Ищите частное решение в виде $\[x = A\sin t + B\cos t\]$, а затем просто добавьте его к общему решению однородного уравнения.

[Nurzery[Rhymes]]

А в каком виде искать частное решение, если в правой части будут экспоненты или экспоненты и степень $t$?

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Если у вас в правой части $\[{e^{\mu t}}\]$ и $\[\mu \]$ не есть корень хар. уравнения (нерезонансный случай), то в виде $\[A{e^{\mu t}}\]$, если случай резонанса, то $\[At{e^{\mu t}}\]$. Если у вас многочлен - искать в виде многочлена той же степени (без пропусков степеней), если стоит например произведение многочлен на экспоненту - в виде произведения (а тут как в отдельном случае). Да и вообще, что я это пишу, это в каждом учебнике есть.

[Otta]

Nurzery[Rhymes]
А Филиппова у Вас нет?

[Nurzery[Rhymes]]

Otta в сообщении #952805 писал(а):

Nurzery[Rhymes]
А Филиппова у Вас нет?

Я и учусь по заданиям из Филиппова, но там теория объясняется мало и плохо. Я в ней разбирался по Краснову, но все равно виды частных решений уже на следующий день вылетают из головы. И у меня на понимание метода решения таких систем осталось часа 2-3.

[Otta]

Ну уж линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и специальной правой частью там уделено более чем достаточно внимания.