Разложить на неприводимые действительные множители многочлен

[jackofbladess]

$x^{2n+1}+1$

Я вроде как сделал, но препод сказал, что есть какие-то особые случаи
если $x=2$ то $x^5 + 1$ при разложении получается $(x+1)(x^4-x^3+x^2-x+1)$
если $x=3$ то $x^7 + 1$ при разложении получается $(x+1)(x^6-x^5+x^4-x^3+x^2-x+1)$
и т.д.
Препод говорит, что в действительных числах не может быть степени больше 2 и типа множители после $x+1$ ещё как-то раскладываются. Он сказал, что уравнения $x^5+1$ и т.д. нужно привести в тригонометрический вид и написать общее решение. Как это сделать? Вообще не понимаю =( Буду очень благодарен за помощь!

[Evgenjy]

Срочно исправляйте формулы в LaTeX.

[Brukvalub]

Вы комплексные числа проходили или "проходили мимо"?

[jackofbladess]

$(1 + x)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) = (1 + x)(x^2 + \frac{(-1 + \sqrt{5})} {2})x + 1)(x^2 + \frac{(-1 - \sqrt{5})} {2})x + 1) $
Получилось для $x^5+1$

Но я решил другим путем, а надо через тригонометрию как-то и найти общее решение для всех n

Brukvalub в сообщении #952751 писал(а):

Вы комплексные числа проходили или "проходили мимо"?

Походу мимо =(

[Sonic86]

фигня удалена

[ИСН]

jackofbladess в сообщении #952755 писал(а):

Походу мимо =(

Тогда никак.

Sonic86 в сообщении #952759 писал(а):

Советую погуглить термин "круговые многочлены".

Я тоже советую, интереснейшая тема, но здесь она бесполезна.

[jackofbladess]

Sonic86 в сообщении #952759 писал(а):

jackofbladess в сообщении #952731 писал(а):

Я вроде как сделал, но препод сказал, что есть какие-то особые случаи

Не очень понятно про особые случаи.

Советую погуглить термин "круговые многочлены". Либо прочитать про них в книге Прасолова "Многочлены". Вопрос сводится к ним.

jackofbladess в сообщении #952755 писал(а):

Но я решил другим путем

Вы уверены? И каким же?

$x^4-x^3+x^2-x+1$ поделил на x^2
и там через замену дальше

[Brukvalub]

Мне кажется, еще полезней будет узнать про извлечение корней из $-1$ в поле комплексных чисел и про пары комплексно-сопряженных чисел.

[ИСН]

(Оффтоп)

Sonic86 в сообщении #952766 писал(а):

Точно бесполезна?

Разумеется. Во-первых, это

Цитата:

$x^{2n+1}+1=-\Phi_{2n+1}(-x)$

- никогда не верно (даже если подправить минусы и коэффициенты), потому что круговым многочленом называется тот, который получится, если этот разложить и вынести всё лишнее, а разложить его можно всегда: он делится на $x+1$, например. Ну и во-вторых, клиенту нужно не это, а разложение по действительным. И он его получит, если узнает мудрость старого косинуса.

-- менее минуты назад --

(Оффтоп)

Всё сказанное not applicable, если в книге почему-нибудь круговым многочленом называется нечто другое. Например, $x^n-1$.

[Sonic86]

(Оффтоп)

ИСН в сообщении #952778 писал(а):

потому что круговым многочленом называется тот, который получится, если этот разложить и вынести всё лишнее, а разложить его можно всегда: он делится на $x+1$, например.

А, все, понял, где я туплю.
Но все равно, я бы так решал

Ааа! Я спутал приводимость над полем и над кольцом!
Все, значит мои советы тут вообще неуместны.
Степень любого неприводимого множителя $\leqslant 2$
jackofbladess, мои посты не читайте тут

[jackofbladess]

Может все-таки поможете решить? Просто срочно надо. Я думаю, что немного осталось, ведь для x^5+1 найдено решение. Дальше идей нет вообще =(

[provincialka]

Ответ будет тригонометрическим, в общем виде в радикалах не выражается. И как тут обойтись без корней из $-1$ -- не ясно. Может, и можно что-то вымучить, но не хочется.

[Deggial]

jackofbladess в сообщении #952804 писал(а):

Может все-таки поможете решить? Просто срочно надо.

jackofbladess, здесь простые задачи полностью не решают. Запрещено правилами.

jackofbladess в сообщении #952804 писал(а):

Дальше идей нет вообще =(

Вам написали исчерпывающую идею:

Brukvalub в сообщении #952770 писал(а):

Мне кажется, еще полезней будет узнать про извлечение корней из $-1$ в поле комплексных чисел и про пары комплексно-сопряженных чисел.

Этого вполне достаточно. Действуйте!

jackofbladess в сообщении #952804 писал(а):

x^5+1

формулы $\TeX$ом оформляйте, иначе тема поедет в Карантин.

[jackofbladess]

Получилось
$(x+1)(x^2-2x*\cos\frac{\pi k}{2n+1}}+1)$

Множителей после $(x+1)$ $n$-ое кол-во
k в промежутке $(0...n-1)$ и увеличивается в каждом следующем множителе на 2, то есть, например, при $n=2$ в первом будет $\frac{\pi}{5}$, а во втором $\frac{3\pi}{5}$

Правильно ли я решил и помогите правильно это записать.

[provincialka]

Записать так: $(x+1) (x^2-2x \cos \frac{\pi k}{2n+1}+1)$. Наведите курсор и посмотрите. Не надо ставить лишних долларов и использовать звездочку.

По смыслу: угол немного не такой.