Подстановка ряда в ряд.

[PeanoJr]

Добрый вечер! Хотелось бы разобраться с одним непонятным для меня вопросом. В университете при разложении функций в степенные ряды обычно нам говорили типа "вместо x подставляйте ваше $x^2$"(например).
Пусть у нас есть $y=f(x)$ c областью сходимости $(-R;R)$ и $z=\varphi(y)$ с областью сходимости $(-p;p)$. Нужно разложить функцию $y$ по степеням $x$.
Какие условия должны выполняться, чтобы можно было находить разложение сложной функции в ряд в окрестности точки подстановкой ряда в ряд?
В задачнике Виноградова, Олехник, Садовничий - Задачи и упражнения по математическому анализу есть теорема, в которой говорится, что необходимым и достаточным условием является $|a_0|<p$, где $a_0=f(0)$
Мне не совсем понятно, почему так. Где про это можно более подробно почитать?

И близкий к теме второй вопрос:

Откуда на скриншоте взялась эта $\varphi(f(x))=\frac{1}{1+2x+x^2}$

[provincialka]

Здесь $\varphi$ - сумма геометрической прогрессии. Ее легко записать в конечном виде: $\varphi(y)=\frac{1}{1-y}$

[PeanoJr]

Точно! Был невнимателен:) А по поводу первого вопроса?

[ИСН]

Если $f(0)>p$, то ряд для внешней функции не будет сходиться даже в $x=0$, и гадать дальше не о чем.