Посоветуйте хороший учебник по дифференциальной геометрии.

[Pulseofmalstrem]

Собственно, можете посоветовать хорошую книжку для самостоятельного изучения?

[Brukvalub]

Дифференциальная геометрия - она разная бывает. Например, есть учебники для начинающих: Шикин с Поздняком, Сизый и т.п. А есть 2-х-томник Кобаяси-Номидзу. А еще есть старые учебники Выгодского, Кагана и т.п. А еще есть новомодные учебники, например, Новиков-Тайманов. А еще есть стоящие особняком учебники, например, монография Стейнберга. И все они написаны про дифференциальную геометрию, но сильно различаются по многим параметрам. Так что, не зная вашей цели, ответить на вопрос невозможно.
Это как с велосипедами: есть детские трехколесные, есть прогулочные, есть шоссейные, есть внедорожные, есть BMX-ы, есть хардтрейлы, а есть и гибриды. Так что вопрос "какой велосипед посоветуете" тоже выглядит глупо.

[Pulseofmalstrem]

Brukvalub в сообщении #952229 писал(а):

Дифференциальная геометрия - она разная бывает. Например, есть учебники для начинающих: Шикин с Поздняком, Сизый и т.п. А есть 2-х-томник Кобаяси-Номидзу. А еще есть старые учебники Выгодского, Кагана и т.п. А еще есть новомодные учебники, например, Новиков-Тайманов. А еще есть стоящие особняком учебники, например, монография Стейнберга. И все они написаны про дифференциальную геометрию, но сильно различаются по многим параметрам. Так что, не зная вашей цели, ответить на вопрос невозможно.
Это как с велосипедами: есть детские трехколесные, есть прогулочные, есть шоссейные, есть внедорожные, есть BMX-ы, есть хардтрейлы, а есть и гибриды. Так что вопрос "какой велосипед посоветуете" тоже выглядит глупо.

Для первого ознакомления на более-менее сносном уровне, подразумевается знание дифференциального счисления (умею считать производную, дифференциал, производить приближенные вычисления с помощью дифференциала, формула Тейлора + еще парочка теорем основных + конечно возможность ознакомиться дополнительной информацией при необходимости, сам учусь в 11 классе), поэтому я думаю здесь стоит выбрать вариант для начинающих (ну собственно в рамках дифференциальной геометрии я могу разве что проводить касательные, нормали да вычислять радиус кривизны, то есть почти ничего).

[Brukvalub]

Тогда Поздняк-Шикин и Сизый.

[elektrybalt]

Для первого ознакомления есть замечательная популярная книжечка "Дифференциалы помогают геометрии" Щербакова и Пичурина .

[Nurzery[Rhymes]]

(Оффтоп)

О, меня лекции Сизого по теории чисел выручили в первом семестре первого курса, когда я проболел почти два месяца и пришлось наверстывать самые абстрактные предметы самостоятельно по книжкам. Надо будет ради собственного интереса почитать его лекции по диф. геометрии.

[Алексей К.]

Pulseofmalstrem в сообщении #952236 писал(а):

(ну собственно в рамках дифференциальной геометрии я могу разве что ... вычислять радиус кривизны, то есть почти ничего).

О, это очень много!
Меня с таким же набором знаний в некоторых местах (компутерно-ориентированных) записали в великие учёные...
Великим я стал лишь от того, что вместо радиуса кривизны пользовался чисто кривизной. И не игнорировал её знак. Иными словами, игнорировал модули в формулах типа

$$k(x)=\frac{\color{magenta}|{\color{black}y''}|}{(1+{y'}^2)^{3/2}}.\eqno(1)$$

Аналогичным образом модули ставят и в формулах кривизны полярной или параметрической кривой $\left(k(t)=\frac{\color{magenta}|{\color{black}y''x'-x''y'}|}{({x'}^2+{y'}^2)^{3/2}}\right)$.
Я их игнорировал и, например, в лесу, когда за опятами ходил: этот дурацкий модуль говорит, на сколько градусов поворачивать, но скрывает главное --- поворачивать вправо или влево!
Пока я этого не понял, все мои походы в лес заканчивались вызовом тех или иных служб спасения.

Однако эти модули весьма распространены в справочниках и учебниках. Вот в банках не боятся пользовать отрицательные числа для состояния баланса, и для типа операции (приход-уход), а в дифф. геометрии почему-то боятся. И тем самым насилуют т.н. "основную теорему дифф. геометрии", согласно которой кривая однозначно строится по натуральному уравнению $\text{кривизна}=k(s)$. А как мы, при этих самых дебильных модулях различим, например, кривые (в терминах графиков функций) $y=x^3$ и $y=|x^3|$? Натуральные уравнения (исчисленные с модулями) для этих разных кривых будут одинаковыми.

Есть и псевдо-польза от этих модулей (перетекающих и в (псевдо)учёные статьи).
Вот типа решает чувак задачку --- как сгондобить кривую Безье, которая будет плавненько сопрягать две заданные окружности.
И он использует только (положительные) радиусы окружностей, игнорируя их кривизну.
Зато вместо одной статьи пишет три, называя случаи с разным знаком кривизны как "окружности не пересекаются, одна внутри другой", потом "окружности не пересекаются, одна вне другой", "окружности пересекаются, ..." итд. А потом пишет четвёртую статью, когда одна из окружностей --- прямая.
Три-четыре статьи --- и phD!

А если от кривизн не откусывать их естественные знаки (право-лево, $k(s)=\frac{d\,\tau(s)}{d\,s}$), то и формула будет одна, но и нищасная статья будет одна.

Не знаю, какой учебник Вы выберете, но когда доберётесь до этих модулей, посомневайтесь. Формулы типа приведённой формулы (1), по-моему, не должны переползать в XXI век. А ведь переползают...

[wlad50]

Для начинающих: Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. Есть подробная книга Рашевского П.К. Курс дифференциальной геометрии.