Нахождение модуля ускорения

[integer]

Пусть тело движется со скоростью $\mathbf{v}=v_x\mathbf{i}-v_y\mathbf{j}$.
Модуль ускорения будет $a=\sqrt{ (\frac{d{v_x}}{dt})^2+(\frac{d{v_y}}{dt})^2 }$.

Почему нельзя искать модуль ускорения по формуле $a=\frac{dv}{dt} = \frac{d{\sqrt{(v_x)^2+(v_y)^2}}}{dt} $?

[Someone]

Вычислите эту производную и сравните с правильным выражением.

[rustot]

почему нельзя, можно, получится скалярная величина "производная модуля скорости", может и она сгодится на что нибудь. можно допустим с помощью нее попытаться вычислить мощность.

а для второго закона ньютона, например, нужен именно вектор, производная вектора скорости, для него эта скалярная величина не пригодится

или вопрос чисто математический, почему производная модуля не равна модулю производной? ну это неравенство как бы очевидно из самого процесса вычисления этих величин, какие еще дополнительные разъяснения тут могли бы потребоваться? ну допустим при движении по окружности вектор скорости меняется а модуль скорости не меняется, соответственно производая вектора скорости ненулевая а производная модуля скорости нулевая. "меняется" vs "не меняется"

[integer]

rustot в сообщении #951986 писал(а):

ну допустим при движении по окружности вектор скорости меняется а модуль скорости не меняется, соответственно производая вектора скорости ненулевая а производная модуля скорости нулевая. "меняется" vs "не меняется"

В данном случае производная модуля скорости это тангенциальное ускорение.

[upgrade]

integer в сообщении #951983 писал(а):

$a=\frac{dv}{dt} = \frac{d{\sqrt{(v_x)^2+(v_y)^2}}}{dt} $?

а как это выражение получено?

у меня почему-то вот так выходит $\frac{dv}{dt}=\frac{\sqrt{(dv_x)^2+(dv_y)^2}}{dt}$

[rustot]

да можно посчитать производную модуля скорости, никто же не запрещает и можно ее даже где то использовать, но только не в тех законах где говорится о "ускорении" без дополнительных прилагательных, потому-что эта величина ему не равна, а закон формулировался именно для производной вектора скорости.

допустим мощность можно с помощью нее посчитать $P = \frac{d}{dt}\frac{m v(t)^2}{2} = \frac{m}{2} \frac{d}{dt} v(t)^2 = m |v(t)| \frac{d}{dt} |v(t)|$. вот сюда можете подставить ваше тангенциальное ускорение $\frac{d}{dt}|v(t)|$ и найти какая для такого тангенциального ускорения требуется мощность. можно еще какие-нибудь применения найти производной модуля скорости, но только не в качестве $\vec{a}$ или $|\vec{a}|$, потому-что это математически совсем другая величина.

[integer]

Допустим $\mathbf{v}=v_x\mathbf{i}-v_y\mathbf{j}$. Тогда $\mathbf{a}$ какое ускорение? Векторная сумма нормального и тангенциального?

[rustot]

$\vec{dv} = \vec{v}(t+dt) - \vec{v}(t)$

$dv_x = v_x(t+dt) - v_x(t)$
$dv_y = v_y(t+dt) - v_y(t)$

$a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{v_x(t+dt)-v_x(t)}{dt} = \frac{d}{dt}v_x$
$a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{v_y(t+dt)-v_y(t)}{dt} = \frac{d}{dt}v_y$

$\vec{a} = \frac{d}{dt}\vec{v} = (\frac{d}{dt}v_x, \frac{d}{dt}v_y)$
$|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2+a_y^2} = \sqrt{(\frac{d}{dt}v_x)^2 + (\frac{d}{dt}v_y)^2}$

вы можете выбрать оси x,y так чтобы одна была направлена вдоль текущей скорости $\vec{v}$, то есть чтобы одна из компонент скорости была нулевой, тогда эти компоненты $a_x$ и $a_y$ можно называть нормальной и тангенциальной составляющими ускорения. можно их домножить на единичные векторы $\hat{x}$ и $\hat{y}$ и тогда вектор ускорения будет их суммой $\vec{a} = \hat{x} a_x + \hat{y} a_y$

[integer]

Как направлено ускорение при произвольном движении?

[warlock66613]

integer в сообщении #952012 писал(а):

Как направлено ускорение при произвольном движении?

Произвольно.

[rustot]

в направлении разности векторов скоростей взятых в два последовательных момента времени

[integer]

Если дан закон по которому изменяется вектор скорости, то мы можем найти радиус кривизны траектории по которой движется тело в конкретный момент времени?
Можно таким образом найти $\lvert\frac{d\mathbf{v}}{dt}\rvert=\sqrt{\frac{v^4}{R^2}+{\frac{dv}{dt}}^2}$ ?

[DimaM]

integer в сообщении #952718 писал(а):

Если дан закон по которому изменяется вектор скорости, то мы можем найти радиус кривизны траектории по которой движется тело в конкретный момент времени?

Мы можем. Найдем полное ускорение, потом танценциальное, вычислим нормальное, далее по школьной формуле $a_n=v^2/R$.