|sin(x)|<=|x|

[Skyfall]

Помогите, пожалуйста, доказать неравенство
$|$\sin(x)$|$\leqslant$|$x$|$.
Пробовал через производную, но не понимаю, как с ее помощью проанализировать. Может, графически можно доказать? wolframalpha

[Brukvalub]

Да, графически.

[--mS--]

На единичной окружности нарисуйте $x$ и $\sin x$ и сравните.

[Skyfall]

Brukvalub в сообщении #951692 писал(а):

Да, графически.

Для этого нужно доказать, что $\sin x=x$ только при $x=0$, да? Как это сделать?

-- 24.12.2014, 22:50 --

--mS-- в сообщении #951693 писал(а):

На единичной окружности нарисуйте $x$ и $\sin x$ и сравните.

Не могли бы Вы подробнее пояснить? Если нельзя по правилам тут, так может в ЛС? :)

[PeanoJr]

Skyfall в сообщении #951720 писал(а):

Brukvalub в сообщении #951692 писал(а):

Да, графически.

Для этого нужно доказать, что $\sin x=x$ только при $x=0$, да? Как это сделать?

-- 24.12.2014, 22:50 --

--mS-- в сообщении #951693 писал(а):

На единичной окружности нарисуйте $x$ и $\sin x$ и сравните.

Не могли бы Вы подробнее пояснить? Если нельзя по правилам тут, так может в ЛС? :)

В учебнике Л.Д.Кудрявцев - Курс математического анализа (издание 1981 года) на страницах 140-141 подробно все написано:)

[Skyfall]

PeanoJr в сообщении #951726 писал(а):

В учебнике Л.Д.Кудрявцев - Курс математического анализа (издание 1981 года) на страницах 140-141 подробно все написано:)

Благодарю за ссылку на книгу, жаль только, у меня 2003г, но я так понимаю, что речь о параграфе 9, пункт 5 "Сравнение функций"?
$\sin x = x + o(x), x \to 0 $ это? :)
Помогите, пожалуйста, разобраться с решением неравенства. Допустим, решаю графически. Что для этого нужно сделать? Достаточно ли сказать, что графики функций $|\sin x |$ и $|x|$ имеют одну общую точку, а все остальное видно по рисунку?:)

Также не теряю надежды, что кто-нибудь поможет через производную доказать. :)

[provincialka]

Skyfall в сообщении #951752 писал(а):

$\sin x = x + o(x), x \to 0 $ это? :)

Нет, не это. Для этого неравенство нужно уже доказать.

Отложите от оси $Ox$ на единичной окружности дугу, равную $x$ радиан в обе стороны. Будет дуга размером $2x$. Концы ее соедините хордой. Чему равна длина хорды? Что короче, хорда или дуга?

[Skyfall]

provincialka в сообщении #951753 писал(а):

Отложите от оси $Ox$ на единичной окружности дугу, равную $x$ радиан в обе стороны. Будет дуга размером $2x$. Концы ее соедините хордой. Чему равна длина хорды? Что короче, хорда или дуга?

Хорда всегда будет короче, как я понимаю. Длина дуги - это х, хорды - значение синуса. Благодарю, красивое решение.
А через производную как решить подскажете? :)

[provincialka]

Зачем? Сама производная выводится с использованием соотношения

Skyfall в сообщении #951752 писал(а):

$\sin x = x + o(x), x \to 0 $

, для доказательства которого применяется заявленное вами неравенство. То есть получается круг в доказательстве.

Но если очень надо - исследуйте на экстремум разность $x-\sin x$

[Skyfall]

Дело в том, что преподаватель мне привел док-во этого неравенства через производную и я его не до конца понял. Вот оно:
$y = t - \sin t , t \geqslant 0$
$ y' = 1 - \cos t \geqslant 0 $
$ y(0) = 0, y\geqslant 0 $

Попробовал исследовать. Есть одна критическая точка ($ x = 0 $), но она не является точкой экстремума. Т.е. имеем, что $ f(x) = x- \sin x $\geqslant$ 0 при $x $\geqslant$ 0 $ что и требовалось, так?

[PeanoJr]

(Оффтоп)

В учебнике Ильин,Садовничий,Сендов - Математический анализ вообще рассматривается вариант вводить синус и косинус как решения системы функциональных уравнений, удовлетворяющих ряду условий,одним из которых является $0< \sin x<x<\tg x$ для $x \in (0;\frac{\pi}{2})$ А оттуда уже практически сразу получается и $|\sin x|\leqslant|x|$. Довольно красиво:)

[provincialka]

Если без модуля, то 0 не является точкой экстремума. Следите за убыванием/возрастанием в окрестности 0. Хотя бы справа, слева там все симметрично.

-- 24.12.2014, 23:32 --

PeanoJr
Можно. Чтобы окончательно "добить" первокурсников этим ужасным матаном.

[Skyfall]

(Оффтоп)

PeanoJr в сообщении #951784 писал(а):

В учебнике Ильин,Садовничий,Сендов - Математический анализ вообще рассматривается вариант вводить синус и косинус как решения системы функциональных уравнений, удовлетворяющих ряду условий,одним из которых является $0< \sin x<x<\tg x$ для $x \in (0;\frac{\pi}{2})$ А оттуда уже практически сразу получается и $|\sin x|\leqslant|x|$. Довольно красиво:)

Благодарю за интересный факт. После сессии ознакомлюсь. Но, наверное, первокурсник там мало что поймет, да? :)

-- 25.12.2014, 00:38 --

provincialka в сообщении #951785 писал(а):

Если без модуля, то 0 не является точкой экстремума. Следите за убыванием/возрастанием в окрестности 0. Хотя бы справа, слева там все симметрично.

Да, пока без модуля рассматриваю. Но я пока не уловил, где я допустил ошибку?

[PeanoJr]

Skyfall в сообщении #951787 писал(а):

(Оффтоп)

PeanoJr в сообщении #951784 писал(а):

В учебнике Ильин,Садовничий,Сендов - Математический анализ вообще рассматривается вариант вводить синус и косинус как решения системы функциональных уравнений, удовлетворяющих ряду условий,одним из которых является $0< \sin x<x<\tg x$ для $x \in (0;\frac{\pi}{2})$ А оттуда уже практически сразу получается и $|\sin x|\leqslant|x|$. Довольно красиво:)

Благодарю, за интересный факт. После сессии ознакомлюсь. Но, наверное, первокурсник там мало что поймет, да? :)

(Оффтоп)

Напротив - этот учебник как раз для первокурсников :)

[provincialka]

Skyfall в сообщении #951787 писал(а):

Но я пока не уловил, где я допустил ошибку?

А кто сказал, что вы ее допустили? Вы честно рассмотрели случай $x \geqslant 0$. Осталось упомянуть, почему при $x <0$ все аналогично.

-- 24.12.2014, 23:45 --

Ошибка, скорее, в постановке задачи. Потому что определение синуса в вашем курсе дается явно не "по Садовничему", а по-простецки, через прямоугольные треугольники. Ну, а в этом случае само существование производной следует из данного (или подобного) неравенства.
Кстати, в самом деле. Как вам объясняли производную синуса? Через замечательный предел? А его как доказывали?