Свойство трапеции

[Ambivalent]

Если $M$ и $N$ - середины боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$, диагонали которой пересекаются в точке $E$, то $AM^2-ME^2=DN^2-NE^2$.

Я пришёл к этому соотношению следующим образом. Как известно, если $P$ - точка пересечения перпендикуляров, опущенных из $M$ на $AC$ и из $N$ на $BD$, то $PA=PD$ (ММО, 2011, 8 класс). Тогда нужная формула вытекает из теоремы Карно для треугольника $AED$.

Интересует, есть ли простое непосредственное доказательство? Наверняка это известная вещь - не подскажете источник?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Ambivalent в сообщении #951380 писал(а):

Пришёл к этому кружным путём. Есть ли простое и очевидное доказательство?

Приведите для начала Ваше.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[TOTAL]

Ambivalent в сообщении #951380 писал(а):

Если $M$ и $N$ - середины боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$, диагонали которой пересекаются в точке $E$, то $AM^2-ME^2=DN^2-NE^2$.

Я пришёл к этому соотношению следующим образом. Как известно, если $P$ - точка пересечения перпендикуляров, опущенных из $M$ на $AC$ и из $N$ на $BD$, то $PA=PD$ (ММО, 2011, 8 класс). Тогда нужная формула вытекает из теоремы Карно для треугольника $AED$.
Интересует, есть ли простое непосредственное доказательство?

Через т. $E$ провести перпендикуляр к основаниям, который пересечет $BC, MN, AD$ соответственно в точках $P, K, Q.$

Очевидно, $AQ \cdot BP = QD \cdot PC$
Т.е. $(MK+ t_1) \cdot (MK-t_1) = (NK+ t_2) \cdot (NK-t_2)$

Теперь к $MK^2- t_1^2=NK^2- t_2^2$ добавляем ещё две "теоремы Пифагора":

$ND^2- t_2^2=AM^2- t_1^2$
$ME^2- MK^2=NE^2- NK^2$

Все три складываем

[Ambivalent]

Замечательно, большое вам спасибо!