Плоскость Лобачевского

[darkhorseforyou]

Помогите разобраться, как решить следующую задачу: найти радиус окружности, вписанной в треугольник с бесконечно-длинными сторонами.

[stef]

Очевидно, что если провести из центра окружности лучи, параллельные сторонам, то углы между ними будут равны $\frac{2 \pi}{3}$. Опустим высоту. По определению угла параллельности, эта высота, она же радиус, будет равна $\Pi(\frac{\pi}{3})$. Дальнейшее зависит от выбора единицы длины.

[darkhorseforyou]

stef в сообщении #951326 писал(а):

Очевидно, что если провести из центра окружности лучи, параллельные сторонам, то углы между ними будут равны $\frac{2 \pi}{3}$. Опустим высоту. По определению угла параллельности, эта высота, она же радиус, будет равна $\Pi(\frac{\pi}{3})$. Дальнейшее зависит от выбора единицы длины.

А можно немного подробнее? В какой модели мы рассматриваем? Модель верхней полуплоскости?

[stef]

Данное доказательство не зависит от модели. Проще всего рассмотреть модель в круге, и взять равномерно удалённые друг от друга концы прямых (бесконечно удалённые точки). Для такого треугольника всё очевидно, остаётся доказать, что все они равны. Это довольно просто. Возьмём два любых бесконечных треугольника, и найдём движение, которое их совмещает. Сначала наложим одну сторону одного на сторону другого, а потом будем перемещать первый треугольник по этой стороне, пока не совместится ещё одня сторона. И под конец замечаем, что существует единственная прямая, параллельная двум данным в данные стороны, так что третья тоже совместилась.