2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Все ли обыкновенные дифференциальные уравнения научились реш
Сообщение23.12.2014, 16:44 
Общеизвестно, что не все дифференциальные уравнения в частных производных умеют решать (хотя бы то же уравнение Шредингера или Навье-Стокса). А вот дифференциальные уравнения "обыкновенные" - решены ли они все? Любого вида? Если да, то где можно найти, как классифицировать уравнение, и найти метод его решения. А если нет, то как можно "на взгляд" определить, решаемо уравнение или нет, и подобрать правильный метод? Есть ли какие-нибудь "классификаторы" уравнений?

(тут вроде принято излагать свои мысли) - я думаю что преобразованием Лапласа можно решить любое обыкновенное ДУ, хотя может я неправ. Проблема в том, что данное преобразование проходят не везде и не всегда, а вместо него изучают множество различных методов для различных типов уравнений. Эти "типы" покрывают все уравнения?

 
 
 
 Re: Все ли обыкновенные дифференциальные уравнения научились реш
Сообщение23.12.2014, 17:01 
Аватара пользователя
Насчет преобразований, вообще говоря, научились бы, если бы для каждого уравнения научились находить свое интегральное преобразование, но это невозможно.

Что касается ОДУ вообще, то умеют решать многие, но далеко не все уравнения. Линейные и то не все решаются. Все начинается с того, что далеко не каждое из них можно привести с помощью каких-то преобразований к виду с постоянными коэффициентами, дальше работает метод Фробениуса, но и он не каждое уравнение осилит, если коэффициенты -- трансцендентные функции. Вот начиная отсюда и заканчивая нелинейными уравнениями применяют волшебство: полные дифференциалы, Бернулли, Риккати, интегрирующие множители, хитрые замены, понижение порядка итд. Методов тысячи, и чем больше человек их знает, тем лучше. Насчет классификатора тоже дело пустое, возьмем хотя бы уравнение в полных дифференциалах. Берем трехэтажную функцию в виде полного дифференциала, получаем уравнение. И откуда человек поймет, что надо проверять на полные дифференциалы, когда от производных глаза на лоб лезут? :-) здесь только компьютер людям в помощь.

 
 
 
 Re: Все ли обыкновенные дифференциальные уравнения научились реш
Сообщение23.12.2014, 17:03 
Ну какая разница, компьютеру тоже надо какой-то "классификатор" чтобы определить как его решать. А иначе только численно.
Хотя бы полное перечисление этих методов где-то есть? Как можно более полное?

 
 
 
 Re: Все ли обыкновенные дифференциальные уравнения научились реш
Сообщение23.12.2014, 17:10 
Аватара пользователя
Вот для начала.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group