Проверка решения ДУ

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть дифф. уравнение

$$y''=2y^3, \quad y(-1)=1, \quad y'(-1)=1$$

Я нашел частный интеграл

$$3y-y^2=x+3$$

Далее мне необходимо сделать проверку, нахожу:

$$(3y-y^2)'=(x+3)'$$

$$3y'-2yy'=1$$

$$y' \cdot (3-2y)=1$$

$$y'=\frac{1}{3-2y}$$

$$y''=\frac{-(3-2y)'}{(3-2y)^2}$$

$$y''=\frac{2y'}{(3-2y)^2}$$

Если в последнее выражение подставить производную, найденную выше, то получится

$$y''=\frac{2}{(3-2y)^3}$$

И как-то это не похоже на исходное уравнение...

Подскажите, пожалуйста, что я делаю не так.

Спасибо!

[Otta]

Да все в порядке. Выводы только правильные надо делать. Значит, это не частный интеграл.

[Limit79]

Otta
Вы имеете ввиду, что решение неверное?

[Otta]

Не, а откуда Вы его взяли? Решение, которое при подстановке не дает тождества, видимо, не решение, да.

[Limit79]

Otta
Получил

[ИСН]

Сдайте обратно на базу.

[Ms-dos4]

Limit79
Вообще такие уравнения решаются понижением порядка заменой $\[y' = p\]$. Ради развлечения приведу решение общего уравнения такого типа
Для уравнения $\[y'' = k{y^n}\]$ получим
$\[p{p_y}' = k{y^n}\]$ Тут переменные отделяются и оно легко интегрируется
$\[p = \pm \sqrt {\frac{{2k{y^{n + 1}}}}{{n + 1}} + {C_1}} \]$ или $\[p = \pm \sqrt {2k\ln \left| y \right| + {C_1}} \]$ если $\[n = - 1\]$
т.к. $\[\frac{{dx}}{{dy}} = \frac{1}{p}\]$ то имеем
$\[x = \left\{ \begin{array}{l} \pm \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {\frac{{2k{y^{n + 1}}}}{{n + 1}} + {C_1}} }} + {C_2},n \ne - 1} \\ \pm \int {\frac{{dy}}{{\sqrt {2k\ln \left| y \right| + {C_1}} }} + {C_2},n = - 1} \end{array} \right.\]$

Вам же стоит остановится после получения решения уравнения первого порядка, найти константу, и затем уже интегрировать дальше, а не пытаться получить ответ из конечной формулы.

[Limit79]

Ms-dos4
Да я это знаю, просто в самом начале, после $y''=2y^3$ у меня почему-то получилось $p'p=2p^3$

Проверял до этого, но слона-то не приметил, думал в середине где-то ошибка.

Спасибо за помощь!