2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ... из условия Коши-Римана...
Сообщение22.12.2014, 07:07 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Можно ли из условия Коши-Римана получить дифференциальное уравнение с одной переменной? Иначе говоря, необходимо что-то похожее (и вместе с тем обратное по размерности области определения и области значений функции искомого дифференциального уравнения) процедуре вывода из уравнений Коши-Римана уравнения Лапласа.

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение22.12.2014, 09:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2337
МО
ОДУ, Вы имеете в виду?
Если в вещественных числах, то это вряд ли: ОДУ задает параметрическое семейство решений, а нужно же функциональное.
А в комплексных, пожалуй, можно. Вырожденное уравнение:
$0=0$.
Сами условия КР, если речь о комплексных числах, становятся условиями гладкости искомой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение22.12.2014, 09:46 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
пианист в сообщении #950579 писал(а):
ОДУ, Вы имеете в виду?

Да, обыкновенное для вектор-функции или комплексной функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение23.12.2014, 07:07 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
пианист в сообщении #950579 писал(а):
Если в вещественных числах, то это вряд ли: ОДУ задает параметрическое семейство решений, а нужно же функциональное.

Вы имеете в виду систему ОДУ на плоскости, которая действительно задаёт параметрическое семейство решений, но у меня чечь о другом.

Например, пусть имеются условия Коши-Римана для пары функций $u(z,\varphi), v(z,\varphi)$. Спрашивается, какому дифференциальному уравнению должна удовлетворять комплексная функция $\psi(x)=u(x)+iv(x)$, где $x=e^{-\varepsilon}z-e^{\varepsilon}\varphi$. Разве $\psi(x)$ может быть произвольной, разве на неё не накладываются никакие дифференциальные условия?

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение23.12.2014, 10:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2337
МО
Ну дык а в чем проблема подставить?
У меня получилось только тривиальное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение23.12.2014, 12:34 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Что куда подставить?

(Оффтоп)

Недавно сын подсунул мне логическую задачку Эйнштейна, в преамбуле к которой было сказано, что 98 процентов населения её не решит. Сначала я тупил, но когда сын намекнул мне, что тут поможет табличка, то я всё же попал в число 2 процентов населения. Может быть и Вы дадите мне подсказку?

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение23.12.2014, 15:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
bayak в сообщении #951049 писал(а):
Например, пусть имеются условия Коши-Римана для пары функций $u(z,\varphi), v(z,\varphi)$. Спрашивается, какому дифференциальному уравнению должна удовлетворять комплексная функция $\psi(x)=u(x)+iv(x)$, где $x=e^{-\varepsilon}z-e^{\varepsilon}\varphi$.


Это какой-то бессвязный набор символов. У вас $\psi$ -- функция скольки переменных? И что за переменные $z,\varphi$ -- вещественные или комплексные? Сформулируйте на нормальном языке. Тогда, может быть, и никакая табличка не понадобится.

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение23.12.2014, 19:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2337
МО
bayak
Видимо,
$u=f(e^{-\varepsilon}z-e^{\varepsilon}\varphi)$,
$v=g(e^{-\varepsilon}z-e^{\varepsilon}\varphi)$
в систему
$u_z=v_\varphi$,
$v_z=-u_\varphi$.
Если Вы подразумевали что-то другое, то, соответственно, подставляйте в то, другое ;)

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение23.12.2014, 19:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Коровьев в сообщении #382103 писал(а):
О книгах Жордана говорили, что если ему нужно было ввести четыре аналогичные или родственные величины (такие, как, например, a, b, c, d), то они у него получали обозначения
$a,M_3^' $,$\varepsilon _2 ,\prod\nolimits_{1,2}^{''}$ :D
(Дж.Литлвуд. Математическая смесь)


(это я про $z$ и $\varphi$). А если по делу,

пианист в сообщении #951263 писал(а):
Видимо,
$u=f(e^{-\varepsilon}z-e^{\varepsilon}\varphi)$,
$v=g(e^{-\varepsilon}z-e^{\varepsilon}\varphi)$
в систему
$u_z=v_\varphi$,
$v_z=-u_\varphi$.


то давайте $u=f(h(x,y))$, $v=g(h(x,y))$, где $u,v$ -- функции одной вещественной переменной, а $h$ -- скалярная вещественнозначная функция двух вещественных переменных. Тогда получаем, что
$$
f'(h(x,y))h'_x=g'(h(x,y)) h'_y, \quad f'(h(x,y))h'_y=-g'(h(x,y))h'_x.
$$
Получаем, что $\frac{h'_y}{h'_x}=-\frac{h'_x}{h'_y}$, чего не бывает, если только мы на ноль где-то не поделили. Ну т. е. только тривиальное решение (константы).

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение23.12.2014, 21:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/10/07
1221
Самара/Москва
bayak в сообщении #951128 писал(а):

(Оффтоп)

Недавно сын подсунул мне логическую задачку Эйнштейна, в преамбуле к которой было сказано, что 98 процентов населения её не решит. Сначала я тупил, но когда сын намекнул мне, что тут поможет табличка, то я всё же попал в число 2 процентов населения.

(Оффтоп)

Вряд ли. Эйнштейн подразумевал, что 98% процентов не решат ее В УМЕ, без бумаги

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение24.12.2014, 06:58 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
пианист и g______d, спасибо за урок. Henrylee прав, моё место среди 98 процентов населения.

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение24.12.2014, 09:37 


26/04/08

1039
Гродно, Беларусь
Коллеги, вы ввели меня в заблуждение, поскольку тут надо рассматривать функции двух переменных, а именно, $u(h,h^*), v(h,h^*)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: ... из условия Коши-Римана...
Сообщение24.12.2014, 21:23 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
bayak в сообщении #951474 писал(а):
вы ввели меня в заблуждение


В очередной раз, сформулируйте точно вопрос на математическом языке. Вы так ни разу этого не сделали, по-моему, вообще за всю историю сообщений. Что это за две переменные, комплексные они или вещественные, что значит $h^*$ -- это просто символ, или она как-то связана с $h$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group