Разложение в ряд Фурье

[Nurzery[Rhymes]]

Где я ошибся при разложении функции $f(x)=x$ в ряд Фурье? Разложить надо на интервале $(-\pi;\pi)$ по синусам и косинусам.
Это нечетная функция, т.к. $f(x)=-f(-x)$, значит, $a_0 = 0$ и $a_n = 0$.
Тогда получим разложение по синусам:

$$x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}b_n \sin nx$$

Находим коэффициент Фурье:

$$b_n = \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}x\sin nx$$

Но функция $x\sin nx$ - нечетная, поэтому можно перейти к интегралу проще:

$$b_n = \frac{2}{\pi}\int\limits_{0}^{\pi}x\sin nx$$

Интегрируем по частям. Не буду писать весь ход интегрирования, потому что это здесь не нужно. Сам определенный интеграл будет равен

$$\frac{\pi}{n}\cos \pi n = \frac{\pi}{n}(-1)^n$$

Домножаем на $\frac{2}{\pi}$:

$$b_n = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{n}(-1)^n = \frac{2}{n}(-1)^n$$

Записываем ряд Фурье:

$$x=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n}(-1)^n \sin nx$$

Я где-то ошибся? В мейпле для $x=-1$ сумма ряда с заданной точностью равна $1$, а сама сумма выражается через арктангенс, синус и косинус.

[Ms-dos4]

Nurzery[Rhymes]
Ошибка в том, что вы потеряли минус при интегрировании
$\[\frac{1}{\pi }\int\limits_{ - \pi }^\pi {x\sin nx} = \frac{1}{\pi } \cdot \frac{{ - 2\pi \cos (\pi n)}}{n} = \frac{2}{n}{( - 1)^{n + 1}}\]$