Уравнение Гамильтона-Якоби, разделение переменных

[AlexTheorMech]

$p^2=p_r^2+p_{\phi}^2 $
$ [r \times p_{\phi} ]=M_z $

[Red_Herring]

Ну нет! прежде всего $p_\phi,p_r,\phi,r$ скаляры. Т.ч. вторая Ваша строчка не просто неверна, а бессмысленна

Подсказка: если $\dot{r}=0$, то скорость будет $\dot{\phi}r$. A для импульсов будет наоборот и потому $M_z=p_\phi$

[AlexTheorMech]

То есть:
$v_{\phi}^2=v_r^2+v_{\phi}^2=\dot{r}+r\dot{\phi}$
но это разве не совпадает с первым уравнением?
Но вот как честно вывести момент импульса не очень понятно, видно что это правда, но формально не могу показать это.

[Red_Herring]

AlexTheorMech в сообщении #950506 писал(а):

То есть:
$v_{\phi}^2=v_r^2+v_{\phi}^2=\dot{r}+r\dot{\phi}$

LOL!

Как честно вывести? Ну например, помнить что $\mathbf{r}$—вектор, a $\mathbf{p}$—ковектор.

[AlexTheorMech]

хм, а можете посоветовать мне какую-нибудь литературу по механике, что-нибудь кроме Ландау?

[Red_Herring]

Например Арнольд "Математические методы классической механики". Но Вы, как я понимаю, физик. М.б. физики что-либо посоветуют.

Что касается Вашей задачи, то $p_\phi^2 +\sin^{-2}(\theta)p_\theta^{2}$ это $\mathbf{M}^2$ в общей системе. У нас же Гамильтониан будет

$$ \sqrt{1+ p_r^2 +p_\phi^2r^{-2}} +\frac{\alpha}{2} p_\phi^2 $$

откуда вытекают уравнения для $\dot{r},\dot{p}_r,\dot{\phi}$ и $\dot{p}_\phi=0$. T.e. $p_\phi=M$ и мы можем

• Выписать уравнение для $\dot{r},\dot{p}_r$ как движение с одномерным Гамильтонианом
  
  $$ \sqrt{1+ p_r^2 +M^2r^{-2}} +\frac{\alpha}{2} M^2; $$
• Найти $p_r$ из $\sqrt{1+ p_r^2 +M^2r^{-2}} +\frac{\alpha}{2} M^2=E$ и тем самым найти $d\phi = F(r, E, M)dr$ и проинтегрировать

Все это очень похоже на более классическую задачу с $H= \frac{1}{2} \mathnf{p}^2 + V(|\mathbf{r}|)$ (и, в частности, с $V=-1/|\mathbf{r}|$.

[AlexTheorMech]

Спасибо. Буду разбираться.

[Oleg Zubelevich]

Red_Herring в сообщении #950539 писал(а):

Выписать уравнение для $\dot{r},\dot{p}_r$ как движение с одномерным Гамильтонианом

$$ \sqrt{1+ p_r^2 +M^2r^{-2}} +\frac{\alpha}{2} M^2; $$

эта фраза непонятна

[Red_Herring]

Вы правы, лучше написать "Рассмотрим одномерный Гамильтониан …. " где $M$ просто константа. Выписать уравнения движения и решить.

[Oleg Zubelevich]

Как раз это понятно, непонятно (без дополнительных разъяснений во всяком случае) какое отношение эти уравнения имеют к исходной задаче.

-- Пн дек 22, 2014 16:16:25 --

разве функция $M$ не зависит от $r,p_r$?

[Негамильтон]

Oleg Zubelevich в сообщении #950740 писал(а):

разве функция $M$ не зависит от $r,p_r$?

$M$ постоянный, они же начали перетирать именно с этого. Это какое-то движение в центральном поле, "по орбите", момент импульса постоянный. Две циклические же ненавязчиво нарыли, если разобраться. Вроде.

[Oleg Zubelevich]

Просто при написании формул надо произносить правильные слова, а не какие попало. Что быотдавать отчет в том что делается на самом деле.

-- Вт дек 23, 2014 00:05:24 --

Например, рассуждать можно так. Введем стандартные декартовы координаты $(x,y,z)$. Напишем уравнения Гамильтона с гамильтонианом $H(x,y,z,p_x,p_y,p_z)$. Заметим, что в фазовом пространстве $\{(x,y,z,p_x,p_y,p_z)\}$ имеется инвариантная поверхность $\{z=0,\quad p_z=0\}$. Разумеется на мысль о такой поверхности наводит анализ симметрий, проведенный выше. Заметим, что суженная на данную поверхность система это система с гамильтонианом $K=H(x,y,0,p_x,p_y,0)$.
Важно следующее: система сужается на одну конкретную поверхность, а не на произвольный уровень первого интеграла (который может быть любым), как может показаться из написанного выше. И второе: то, что при сужении на инвариантную поверхность получилась именно гамильтонова система с именно таким гамильтонианом это тоже не есть какой-то общий факт, это видно только из уравнений.
А вто теперь можно сужать систему с гамильтонианом $K$ на уровень циклического интеграла, вводить на плоскости $(x,y)$ полярные координаты и т д.

[Негамильтон]

Oleg Zubelevich в сообщении #950949 писал(а):

Введем стандартные декартовы координаты $(x,y,z)$.

Я не думаю, что это есть смысл делать. Походу, и так можно доказать, что \mathbf{r}\times \mathbf{p} - постоянная, это во-первых.
Во-вторых, декартовы надо тогда уж выбирать специальным образом, либо накладывать ограничения на начальные условия типа $\ p_z=0\ .

Весь цимес аналитической механики, имхо, в том, чтобы после записи того же, например, гамильтониана , никакой физикой системы уже не заниматься (со всеми ее законами сохранения импульса и т.п.), а решать получившуюся математику по известным технологиям. Так собственно автор вопроса и делал - записал, походу, гамильтониан в трех координатах (сферических), и далее должен был, в соответствии с "технологией" (есть в википедии, напр.), объявить константами две "вложенные" (в гамильтониан) функции (посредством которых в гамильтониан соответственно входили две пары фазовых координат) . И его вопрос был в том, почему это константы. (Кстати, такие константы есть здесь в т.ч. и благодаря удачному выбору координат - вот с декартовыми можно в общем случае здесь и облажаться ).

(Оффтоп)

Явного ответа вопрошающий так и не получил, и пошел читать учебник - интересовало его не эффектное решение, без занудной росписи на пол-страницы, а именно те занудные маттехнологии, которые потребуют для зачета в универе, и которые надежно работают всегда, а не только в простеньких задачках. Что безусловно, не умаляет и т.д., всё правильно и быстро, и надо отдать должное и т.п., короче, все прониклись. Или проникнутся, как только более-менее освоят вопрос.

Насколько понял я, с этими константами дело тут в самых общих чертах вот в чем. Гамильтониан имеет, само собой, энергетический смысл, для консервативной системы - это полная энергия. При наличии "вложенной" функции какая-то часть энергии системы связана только с одной парой фазовых координат и не зависит, стало быть, от других. Т.е. для нее действует закон сохранения энергии - вот эту часть энергии системы, походу, и записывают константой, продолжая "разбираться" с остальными координатами в оставшемся гамильтониане. На самом деле, имхо, всё гораздо более общО, мягко скажем, поскольку,например, нигде не пишут, что "вложенная" функция должна входить в гамильтониан именно как слагаемое, что как-то сразу всё усложняет.

Про сами эти координаты, от которых можно таким способом гамильтониан избавить, толком ничего найти не удалось - в одном месте о них говорилось как о циклических. Имхо, в общем случае это вообще "главные" координаты, либо какой-то их аналог (главные координаты - переходом к ним некоторые (?) системы удается разделить на автономные одномерные подсистемы). Короче, "разделение" переменных в уравнении Гамильтона-Якоби - это если угадали с координатами, имхо - сумели выбрать главные. Как везде и говорится, уравнение полезно именно для особых случаев. Последний абзац - весьма общие соображения, не претендующие, как-бы... Я в этих апельсинах третий день, лет пять до гамильтоновой механики всё толком руки не доходили.

(Оффтоп)

Опять же большое спс Munin'у за пост, вчера прочитал post858785.html#p858785 . Вот что ни пытался читать до этого по гамильтоновой механике - как-то было весьма мутно. Как мало оказалось надо было добавить)))
Кстати, может вернется еще )))