Граничные условия IV рода для разностной схемы

[GreenEkatherine]

Здравствуйте.

Мой вопрос связан с условиями IV рода на границе раздела сред для разностных схем уравнения теплопроводности. Допустим, моя модель описывает двухслойную пластину. При этом коэффициент теплопроводности $\lambda$, плотность $\rho$ и удельную теплоемкость $c$ я задаю одинаковыми для двух слоев. Должен ли в итоге график распределения тепла для такой пластины выглядеть так же, как для однородной?

И дополнительный вопрос: где можно поподробнее почитать про использование условий IV рода? Гуглится скромно, пока пользуюсь книгой Г. В. Кузнецова и М. А. Шеремета "Разностные методы решения задач теплопроводности". Из представленных ими формул, кстати, получается, что у двухслойной пластины с одинаковыми слоями картина будет иной нежели у просто однослойной.

[GreenEkatherine]

Запрогала как в книге. График не совпадает с авторскими. Вот, что у меня получилось на 30 секундах:



Авторский график:



Код в матлабе:

N1 = 25; %кол-во промежутков в первой части пластины
N2 = 25; %кол-во промежутков во второй части пластины
t_end = 600; %окончание по времени
L = 1; %толщина пластины
lamda1 = 46; %коэффициент теплопроводности материала первой части пластины
lamda2 = 384; %коэффициент теплопроводности материала второй части пластины
ro1 = 7800; %плотность материала первой части пластины
ro2 = 8800; %плотность материала второй части пластины
c1 = 460; %теплоемкость материала первой части пастины
c2 = 381; %теплоемкость материала второй части пастины
Tl = 100; %температура на левой границе
Tr = 50; %температура на правой границе
T0 = 10; %начальная температура

N = N1 + N2 + 1; %общее число узлов в пластине
h = L/(N - 1); %расчетный шаг по пространственной координате
a1 = lamda1/(ro1*c1); %коэффициенты теплопроводности
a2 = lamda2/(ro2*c2);
tau = t_end/100;

T(1:N) = T0;

alfa = zeros(N - 1); %коэффициенты прогонки
beta = zeros(N - 1);

time = 0;
while (time < t_end)
    time = time + tau;
    alfa1(1) = 0;
    beta(1) = Tl;
end

for (i = 2:N1)
    ai = lamda1/h^2;
    bi = 2*lamda1/h^2 + ro1*c1/tau;
    ci = lamda1/h^2;
    fi = -ro1*c1*T(i)/tau;
    alfa(i) = ai/(bi - ci*alfa(i - 1));
    beta(i) = (ci*beta(i - 1)  - fi)/(bi - ci*alfa(i - 1));
end

%на границе
alfa(N1 + 1) = 2*a1*a2*tau*lamda2/(2*a1*a2*tau*(lamda2 + lamda1*(1 - alfa(N1)) + (h^2)*(a1*lamda2 + a2*lamda1)));
beta(N1 + 1) = (2*a1*a2*tau*lamda1*beta(N1) + (h^2)*(a1*lamda2 + a2*lamda1)*T(N1 + 1))/(2*a1*a2*tau*(lamda2 + lamda1*(1 - alfa(N1)) + (h^2)*(a1*lamda2 + a2*lamda1)));

for (i = (N1 + 2):(N - 1))
    ai = lamda2/h^2;
    bi = 2*lamda2/h^2 + ro2*c2/tau;
    ci = lamda2/h^2;
    fi = -ro2*c2*T(i)/tau;
    alfa(i) = ai/(bi - ci*alfa(i - 1));
    beta(i) = (ci*beta(i - 1)  - fi)/(bi - ci*alfa(i - 1));
end

T(N) = Tr;

for i = (N - 1):(-1):1
    T(i) = alfa(i)*T(i + 1) + beta(i);
end

plot(T)
T    
    

Ссылка на книгу, стр. 47-57 про рассматриваемый случай http://window.edu.ru/resource/203/75203/files/Heat_conduction_problems.pdf

[Pphantom]

GreenEkatherine в сообщении #950059 писал(а):

Допустим, моя модель описывает двухслойную пластину. При этом коэффициент теплопроводности $\lambda$, плотность $\rho$ и удельную теплоемкость $c$ я задаю одинаковыми для двух слоев. Должен ли в итоге график распределения тепла для такой пластины выглядеть так же, как для однородной?

Да, должен.

GreenEkatherine в сообщении #950059 писал(а):

И дополнительный вопрос: где можно поподробнее почитать про использование условий IV рода? Гуглится скромно,

Гуглится скромно, поскольку в подавляющем большинстве случаев эти условия считаются очевидными и явно не выделяются. Если нам хочется получить осмысленный с точки зрения физики результат (а обычно хочется), то сам факт существования какого-либо распределения температуры по пластине означает, что мы используем приближение локального термодинамического равновесия, а из него эти "граничные условия 4-го рода" немедленно следуют.

GreenEkatherine в сообщении #950059 писал(а):

Из представленных ими формул, кстати, получается, что у двухслойной пластины с одинаковыми слоями картина будет иной нежели у просто однослойной.

Не может быть, Вы что-то не так поняли.

GreenEkatherine в сообщении #950257 писал(а):

Запрогала как в книге. График не совпадает с авторскими.

Стало быть, не так.

Но зачем вообще для этой задачи что-то программировать? Стационарное состояние легко ищется аналитически, а ответ на исходный вопрос появится даже не в момент получения решения, а при формулировке математической задачи.

[GreenEkatherine]

Pphantom, так вот интересно, что не так поняла. Привожу формулы для коэффициентов прогонки из книги:



Где $a_1 = \lambda_1/\rho_{1}c_1$ и $a_2 = \lambda_2/\rho_{2}c_2$.

Откуда можно видеть, что при подстановке одинаковых коэффициентов $\lambda, \rho, c$, они не сокращаются до того, чтобы мы получили аналогичные однородному случаю коэффициенты прогонки.

Прогаю я это, чтобы использовать в более сложной задаче, конкретно этот пример - чтобы проверить формулы и посмотреть, как должна выглядеть модель.

-- 21.12.2014, 20:37 --

С программой я натупила, конечно. Цикл while должен заканчиваться совсем не там.

Вопрос про формулы коэффициентов прогонки сохраняется.

[Pphantom]

GreenEkatherine в сообщении #950389 писал(а):

Откуда можно видеть, что при подстановке одинаковых коэффициентов $\lambda, \rho, c$, они не сокращаются до того, чтобы мы получили аналогичные однородному случаю коэффициенты прогонки.

Вы в этом уверены? Посмотрите внимательнее.

[GreenEkatherine]

Pphantom
Посмотрела, проверила, и правда совпадают. Спасибо за то, что обратили внимание на мои дурацкие ошибки.