Покрытие отрезка [0;1] счетным числом непересек. замкн. множ

[Tik-tak]

Можно ли отрезок [0;1] покрыть счетным количеством нигде не пересекающихся замкнутых множеств?

[Someone]

Нельзя. Но доказательство немножко канительное. У Вас какие-нибудь идеи есть?

[Tik-tak]

Да в том то и дело, что нет идей(

[Someone]

Пусть $\{F_n:n\in\mathbb N=\{1,2,3,\ldots\}\}$ - последовательность непустых попарно непересекающихся замкнутых подмножеств отрезка $[0,1]$. Если первоначально в последовательности были пустые множества, выкинем их и перенумеруем последовательность заново. От этого объединение всей последовательности не изменится. Также будем предполагать, что $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}F_n$ всюду плотно на отрезке $[0,1]$, так как в противном случае заведомо $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}F_n\neq[0,1]$.
Покажем, что существует точка $x_0\in[0,1]\setminus\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}F_n$. Построим по индукции последовательность отрезков $\{I_k=[a_k,b_k]:k\in\mathbb N\}$ и последовательность натуральных чисел $\{n_k:k\in\mathbb N\}$, удовлетворяющие следующим условиям:
1) $I_k\subset I_{k-1}\subseteq[0,1]$ для всех $k>1$;
2) $I_k\subset(a_{k-2},b_{k-2})$ для всех $k>2$;
3) $n_k>n_{k-1}$ для всех $k>1$;
4) $(a_k,b_k)\cap\bigcup\limits_{n=1}^{n_k}F_n=\Lambda$ для всех $k\in\mathbb N$, где $\Lambda$ - пустое множество.

База индукции. Так как $F_1$ и $F_2$ - непересекающиеся замкнутые и, следовательно, компактные подмножества отрезка $[0,1]$, существуют точки $\alpha_1\in F_1$ и $\alpha_2\in F_2$, расстояние между которыми является наименьшим среди всех таких пар точек. В частности, между ними нет никаких точек множеств $F_1$ и $F_2$. Положим $a_1=\min\{\alpha_1,\alpha_2\}$, $b_1=\max\{\alpha_1,\alpha_2\}$, $n_1=2$. Условие 4) будет выполняться, а остальные тривиальны.

Шаг индукции. Предположим, что для некторого $k\in\mathbb N$ отрезок $I_k=[a_k,b_k]$ и число $n_k$ уже построены.
Пусть $n_{k+1}$ - наименьшее натуральное число, для которого $(a_k,b_k)\cap F_{n_{k+1}}\neq\Lambda$. Такое число обязательно найдётся, так как $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}F_n$ всюду плотно на отрезке $[0,1]$, поэтому какое-нибудь из множеств $F_n$, $n\in\mathbb N$ пересекается с $(a_k,b_k)$. В силу условия 4) будет выполняться неравенство $n_{k+1}>n_k$.
Если число $k$ нечётное, то пусть $b_{k+1}=b_k$, а $a_{k+1}$ - точка множества $F_{n_{k+1}}$, ближайшая к $b_k$. Здесь обязательно $a_{k+1}<b_{k+1}=b_k$, так как $b_k\in\bigcup\limits_{n=1}^{n_{k+1}-1}F_n$, $a_{k+1}\in F_{n_{k+1}}$, а множества $F_n$, $n\in\mathbb N$, попарно не пересекаются.
Если число $k$ чётное, то пусть $a_{k+1}=a_k$, а $b_{k+1}$ - точка множества $F_{n_{k+1}}$, ближайшая к $a_k$. Как и в предыдущем случае, получаем $a_{k+1}<b_{k+1}$.
Все условия 1) - 4) (в которых надо заменить $k$ на $k+1$) для отрезка $I_{k+1}=(a_{k+1},b_{k+1})$ и числа $n_{k+1}$ будут выполняться, и можно продолжать построение дальше.

Имеем $\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}I_k\neq\Lambda$ в силу компактности отрезка $[0,1]$, поэтому существует точка $x_0\in\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}I_k\subset[0,1]$. Так как, в силу условий 2) и 4), $\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}I_k\cap\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}F_n=\bigcap\limits_{k=1}^{\infty}(a_k,b_k)\cap\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}F_n=\Lambda$, то $x_0\notin\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}F_n$, то есть, $\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}F_n\neq[0,1]$, что и требовалось доказать.

[volodja]

Лемма. Всякое полное метрическое пространство без изолированных точек несчетно.

Пусть $[0,1]$ можно покрыть последовательностью $(I_n)$ дизъюнктных замкнутых интервалов $I_n=[a_n,b_n]$, тогда $\{a_n\} \cup \{b_n\}$ есть счетное замкнутое множество без изолированных точек. Мы пришли к противоречию с леммой.

[Someone]

Можно и так.

Но это проходит для последовательности отрезков и не проходит для последовательности замкнутых множеств.

И, как заметил далее worm2, нужно предполагать, что не менее двух множеств не являются пустыми.

[worm2]

Tik-tak писал(а):

Можно ли отрезок [0;1] покрыть счетным количеством нигде не пересекающихся замкнутых множеств?

Можно. Сам отрезок [0, 1] и счётное количество пустых множеств.

[Someone]

Замечательно!