Задача по ангему

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка: На плоскости $2x-y-z-11=0$ найти точку, разность расстояний от которой до точек $A(21;-7;6)$ и $B(9;-4-3)$ максимальна.

Я нашел в интернете похожую задачку: сначала там выясняют взаимное расположение точек относительно заданной плоскости, получается, что точки лежат по одну сторону от плоскости (у меня тоже так). Далее находят точку пересечения заданной плоскости с прямой, проходящей через две заданные точки, и это ответ.

Объясните, пожалуйста, почему полученная точка будет как раз искомой.

Спасибо!

[Pphantom]

Три точки - две данных и искомая - образуют некоторый треугольник (возможно, вырожденный). Запишите для него неравенство треугольника.

[Limit79]

Pphantom
Пусть $|AB|$ - расстояние от первой точки до плоскости, $|CB|$ - расстояние от второй, а $|AC|$ - расстояние между заданными точками. Тогда

$$|AC| \leqslant |AB| + |CB|$$

В описанном в первом посте решении, треугольник получается вырожденным.

[provincialka]

Limit79 в сообщении #949675 писал(а):

треугольник получается вырожденным.

Ясен пень. И что? Неравенство превращается в равенство.

[Limit79]

А, понял, спасибо!

[Pphantom]

Limit79 в сообщении #949675 писал(а):

В описанном в первом посте решении, треугольник получается вырожденным.

Именно. Ни на какие идеи не наводит? Подумайте еще чуть-чуть, а потом загляните сюда:

(Ответ)

Элементарно же. Пусть для определенности точка $B$ ближе к точке $C$, чем $A$ (иначе мы их просто переименуем). Тогда из записанного Вами неравенства следует, что $|AC|-|CB| \leqslant |AB|$. Слева стоит искомая разность растояний, которую мы хотим сделать максимально большой, справа - фиксированное расстояние, которое тем самым и является максимально возможным значением разности. Следовательно, в интересующем нас случае неравенство превращается в равенство, следовательно, треугольник является вырожденным, следовательно, мы имеем уже известный Вам ответ.