Системы уравнений

[Expresss]

1) Проверьте, верно ли я решил следующую систему?

$$\left\{\!\begin{aligned}& 3 \cdot 9^{-x} -28 \cdot 3^{-x} + 9 \leq 0, \\& \log_{x^{2} }{(x+2)^{2} \leq 1. }\end{aligned}\right.$$

ОДЗ: $x \ne \pm 1, 2, 0.$
Решаем первое неравенство

$$3 \cdot 9^{-x} -28 \cdot 3^{-x} + 9 \leq 0 \Leftrightarrow 3 \cdot \frac{ 1 }{ 3^{2x} } - \frac{ 28 }{ 3^{x} } +9 \leq 0.$$

$3^{x} = t.$ Решаю кв-ое равенство

$$9t^{2} -28t +3 = 0$$

$t=3, t=1/9$. Отсюда $x=1, x=-2$. Оба не подходят по ОДЗ. Далее решаем второе неравенство

$$\log_{x^{2} }{(x+2)^{2} \leq 1$$

$x=-1$. Тоже не подходит по ОДЗ. В итоге получаем интервал, ввиду которого ответ: $(-2;-1)(-1;0)(0;1).$

2) Тут нуждаюсь в вашей помощи. Нужно решить систему при каждом значении $a$

$$\left\{\!\begin{aligned}& 6x^{2}+17xy+7y^{2}=a, \\& \log_{2x+y }{(3x+7y)} = 3. }\end{aligned}\right.$$

ОДЗ: $2x+y \ne 1 , 2x+y > 0, 3x+7y > 0$. Факторизуем первое равенство и получаем

$$6x^{2}+17xy+7y^{2}=a \Leftrightarrow (3x+7y)(2x+y) = a.$$

Пусть $3x+7y=u , 2x+y=v$. Тогда имеем систему

$$\left\{\!\begin{aligned}& uv=a, \\& \log_{v }{(u)} = 3. }\end{aligned}\right$$

Нахожу $u=a^{3/4}, v=a^{1/4}$. Что делать дальше?

[Brukvalub]

Судя по написанному в решении первой задачи, совсем у вас беда с неравенствами...

[Expresss]

Естественно беда, иначе бы я сюда не писал. Что там не так, помогите?

[provincialka]

Так вы просто их решайте, неравенства. А не заменяйте равенствами. Плюньте пока на ОДЗ, и решите первое неравенство в первом задании. Лучше сначала для $t$.

-- 19.12.2014, 19:32 --

Expresss в сообщении #949538 писал(а):

В итоге получаем интервал, ввиду которого ответ:

Загадочная фраза...
Ваш ответ откуда взялся? Вы сами так решили (почему?) или это из задачника?

-- 19.12.2014, 19:44 --

Expresss в сообщении #949538 писал(а):

Нахожу $u=a^{3/4}, v=a^{1/4}$. Что делать дальше?

Проверять ОДЗ и возвращаться к $x,y$

[Алексей К.]

Expresss в сообщении #949538 писал(а):

ОДЗ: $x \ne \pm 1, 2, 0.$

А двоечку за что выкинули из ОДЗ? Вроде я её спокойно поподставлял повсюду, и проходит...

[provincialka]

Алексей К. в сообщении #949589 писал(а):

А двоечку за что выкинули из ОДЗ?

Это явно опечатка, ТС имел в виду -2.
Думаю, надо его дождаться.

[Expresss]

Да, опечатался, там -2. Мне кажется я понял свою ошибку: от равенств надо перейти к неравенствам. То есть, ответ на первое неравенство должен быть -2<x<1. В таком духе все?

[provincialka]

Expresss в сообщении #949595 писал(а):

В таком духе все?

Первое задание - да. А второе вы почти решили.

[Expresss]

Получается во втором неравенстве ответ получается все равно x>1. И как бы вот на интервале -2, -1, 0, 1 - точки выколотые. И поэтому я снова в ступоре - ответ не изменился. Помогите.

[provincialka]

Expresss в сообщении #949642 писал(а):

Получается во втором неравенстве ответ получается все равно x>1.

Почему "больше"? Ответ у вас с самого начала был правильный.
Кстати, а как вы решаете неравенства, где у логарифма переменное основание? Разбором случаев? Или другим методом (переходом к монотонной функции)?

[Expresss]

Тогда почему товарищ Brukvalub сделал мне замечание, если ответ правильный? Типа за отсутствие перехода от равенства к неравенству?

Да, разбираю отдельно каждый случай.

Во второй системе получается $a$ определено на $(-\infty ,0)\cup \{ 1\} $. Далее просто решить одно из равенств? К примеру, $2x + y = a^{1/4} $?

[provincialka]

Expresss в сообщении #949661 писал(а):

Типа за отсутствие перехода от равенства к неравенству?

Да, за это.

Expresss в сообщении #949661 писал(а):

Во второй системе получается $a$ определено на $(-\infty ,0)\cup \{ 1\} $

В смысле "не определено"? Вы как-то любите терять "минусы"
Лучше сказать "не принадлежит".

Expresss в сообщении #949661 писал(а):

Далее просто решить одно из равенств?

Нет, систему равенств.

[Expresss]

Понял Вас.

[provincialka]

То есть как? Вы как из отрицательного числа собираетесь корень четвертой степени извлекать? А если $a=1$, то основание логарифма равно единице.

[Expresss]

Ой, я хотел согласиться с Вами, но опечатался )) Значит a принадлежит (0,1) и (1, +inf).

-- 20.12.2014, 02:07 --

Значит теперь остается решить эту систему?

$$\left\{\!\begin{aligned} & 2x+y=a^{\frac{ 1 }{ 4 } }, \\ & 3x+7y=a^{\frac{ 3 }{ 4 } } \end{aligned}\right. $$