2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 тригонометрич ур-е высших степеней
Сообщение21.09.2007, 14:59 
$\cos^{58} x + \sin^{40} x = 1$
Понятно, что $\cos x=1$ или $\sin x=1$, являются решением, т. е. $x=\pi n/2$, $n \in \mathbb{Z}$. Как доказать, что других решений нет?

 
 
 
 
Сообщение21.09.2007, 16:24 
Аватара пользователя
Воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством и тем, что $\cos x$, $\sin x$ по модулю не больше 1.

 
 
 
 
Сообщение21.09.2007, 17:28 
каким образом? :roll:
преобразовывать тригонометрическое тождество до 40 степени? :shock:

 
 
 
 Re: тригонометрич ур-е высших степеней
Сообщение21.09.2007, 17:38 
Аватара пользователя
Rony писал(а):
cos^5^8 x + sin^4^0 x = 1
Понятно, что cos x=1 или sin x=1, являются решением, т. е. x=$\pi$n/2, $n \in \mathbb{Z}$. Как доказать, что других решений нет?


А ещё $\cos x=-1$ или $\sin x=-1$.

Что касается отсутствия других решений... На что там намекает Lion? Что больше, $\cos^2x$ или $\cos^{58}x$? И почему?

 
 
 
 
Сообщение21.09.2007, 18:50 
cos^2 x больше cos^58 x, т. к. возводится в степень число, меньшее 1.
Соответственно с sin то же самое, т.е. их сумма всегда будет меньше 1...

 
 
 
 
Сообщение21.09.2007, 19:27 
Аватара пользователя
Rony писал(а):
cos^2 x больше cos^58 x, ...

Больше либо равно! Решения получаются как раз в случае равенства!

 
 
 
 
Сообщение21.09.2007, 19:33 
да, я имела в виду все остальные случаи, кроме ранее полученных ответов.
Большое спасибо :)

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group