тригонометрич ур-е высших степеней

[Rony]

$\cos^{58} x + \sin^{40} x = 1$
Понятно, что $\cos x=1$ или $\sin x=1$, являются решением, т. е. $x=\pi n/2$, $n \in \mathbb{Z}$. Как доказать, что других решений нет?

[Lion]

Воспользуйтесь основным тригонометрическим тождеством и тем, что $\cos x$, $\sin x$ по модулю не больше 1.

[Rony]

каким образом?
преобразовывать тригонометрическое тождество до 40 степени?

[Someone]

Rony писал(а):

cos^5^8 x + sin^4^0 x = 1
Понятно, что cos x=1 или sin x=1, являются решением, т. е. x=$\pi$n/2, $n \in \mathbb{Z}$. Как доказать, что других решений нет?

А ещё $\cos x=-1$ или $\sin x=-1$.

Что касается отсутствия других решений... На что там намекает Lion? Что больше, $\cos^2x$ или $\cos^{58}x$? И почему?

[Rony]

cos^2 x больше cos^58 x, т. к. возводится в степень число, меньшее 1.
Соответственно с sin то же самое, т.е. их сумма всегда будет меньше 1...

[Lion]

Rony писал(а):

cos^2 x больше cos^58 x, ...

Больше либо равно! Решения получаются как раз в случае равенства!

[Rony]

да, я имела в виду все остальные случаи, кроме ранее полученных ответов.
Большое спасибо