Зависимость тока от времени

[Мироника]

Здравствуйте! Пожалуйста направьте на путь истинный с задачкой.
Электрическая цепь, состоящая из резистора (сопротивление R), конденсатора (емкость С) и катушки индуктивности (индуктивность L), соединенных последовательно, включается на постоянную ЭДС Е. В начальный момент времени заряд и ток равны нулю. Найти зависимость тока в цепи от времени I(t).
R=15Ом, С=10мкФ, L=7мГн, Е=3В.
Нужно решить операционным методом.
Сам метод, изображения, оригиналы я знаю. Я не знаю как это с физической точки зрения записать, как выразить ток через эти данные.
Пожалуйста помогите начать

[Мироника]

Вот что у меня получается
Из второго правила Кирхгофа для последовательной RLC-цепи следует
$L \dfrac{dI}{dt} +RI+\dfrac{1}{C}\int Idt =E $
т.к. у нас постоянная ЭДС Е, то продифференцировав получаем
$L \dfrac{d^2 I}{dt^2} + R \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} I(t)=0$
или
$\dfrac{d^2 I}{dt^2} + \dfrac{R}{L} \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{LC} I(t)=0$
Верно?

[Ms-dos4]

Нет. $\[E = {E_0}\theta (t)\]$, где $\theta$ - функция Хевисайда

[Мироника]

Ms-dos4 в сообщении #949298 писал(а):

Нет. $\[E = {E_0}\theta (t)\]$, где $\theta$ - функция Хевисайда

Тогда так
продифференцировав получаем
$L \dfrac{d^2 I}{dt^2} + R \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} I(t)=E_0$
или
$\dfrac{d^2 I}{dt^2} + \dfrac{R}{L} \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{LC} I(t)=E_0$
???

-- 19 дек 2014, 06:00 --

И подставив данные задачи имеем
$\dfrac{d^2 I}{dt^2} + \dfrac{15}{7} \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{70} I(t)=3$
Так?

[ratay]

Ребятушки, а разве постоянный ток через конденсатор течет? Просто уточнить, я ведь могу и ошибаться?

[Мироника]

ratay в сообщении #949302 писал(а):

Ребятушки, а разве постоянный ток через конденсатор течет? Просто уточнить, я ведь могу и ошибаться?

Вот что пишут
Конденсатор, подключенный к источнику постоянной ЭДС полностью препятствует прохождения тока – за некоторый промежуток времени конденсатор заряжается, напряжение между его обкладками становится равным ЭДС источника, после чего ток в цепи прекращается. Если же конденсатор включен в цепь переменного тока, то ток в цепи не прекращается – фактически конденсатор периодически перезаряжается, заряды на его обкладках периодически изменяются как по величине, так и по знаку.
Я теряюсь...

[ratay]

Значит, уточните у преподавателя. Для этого они и существуют.

[Мироника]

ratay в сообщении #949305 писал(а):

Значит, уточните у преподавателя. Для этого они и существуют.

Получается, что в условиях данной задачи нельзя найти зависимость тока в цепи от времени?
Или точнее ток равен 0?

[Ms-dos4]

Мироника
Вы неверно продифференцировали. $\[\frac{d}{{dt}}(\theta (t)) = \delta (t)\]$, т.е. дельта Дирака.

[Мироника]

Ms-dos4 в сообщении #949308 писал(а):

Мироника
Вы неверно продифференцировали. $\[\frac{d}{{dt}}(\theta (t)) = \delta (t)\]$, т.е. дельта Дирака.

т.е.
$\dfrac{d^2 I}{dt^2} + \dfrac{R}{L} \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{LC} I(t)=\dfrac{E_0 \delta (t)}{L}$
И подставив данные задачи имеем
$\dfrac{d^2 I}{dt^2} + \dfrac{15}{7} \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{70} I(t)=\dfrac{3 \delta (t)}{7} $
Так?
Мне еще непонятно нужно ли переходить от мкФ к Ф и от мГн к Гн?

[Ms-dos4]

Мироника
Лучше решите в общем виде, и только затем подставляйте численные значение. Переводить в конечном счёте нужно.

[Мироника]

Ms-dos4 в сообщении #949312 писал(а):

Мироника
Лучше решите в общем виде, и только затем подставляйте численные значение. Переводить в конечном счёте нужно.

Спасибо! Пробую

-- 19 дек 2014, 09:44 --

Ответ мне не очень понравился, но поделюсь своими соображениями. Может кому пригодится)
$\dfrac{d^2 I}{dt^2} + \dfrac{R}{L} \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{LC} I(t)=\dfrac{E_0 \delta (t)}{L}$
Пусть $I(t)=Y(p)$
Тогда $\dfrac{dI}{dt}=pY(p)-I(0)=pY(p)$
$\dfrac{d^2 I}{dt^2}=p^2 Y(p)-pI(0)-\dfrac{dI}{dt}(0)=p^2 Y(p)$
$p^2 Y(p)+\dfrac{R}{L}pY(p)+\dfrac{1}{LC}Y(p)=\dfrac{E_0}{L}$
$Y(p)=\dfrac{E_0}{L} \dfrac{1}{p^2+\dfrac{R}{L}p+\dfrac{1}{LC}}=\dfrac{E_0}{L} \dfrac{1}{p^2+\dfrac{R}{L}p+\dfrac{1}{LC}}=\dfrac{E_0}{L} \dfrac{1}{(p+\dfrac{R}{2L})^2-\dfrac{R^2}{4L^2}+\dfrac{1}{LC}} $
$Y(p)=\dfrac{E_0}{L} \dfrac{1}{(p+\dfrac{R}{2L})^2+\dfrac{4L-R^2 C}{4L^2C}}=\dfrac{E_0}{L\sqrt{\dfrac{4L-R^2 C}{4L^2C}}} \dfrac{\sqrt{\dfrac{4L-R^2 C}{4L^2C}}}{(p+\dfrac{R}{2L})^2+\dfrac{4L-R^2 C}{4L^2C}} $
$Y(p)=\dfrac{2E_0 \sqrt{C}}{\sqrt{4L-R^2 C}} \dfrac{\sqrt{\dfrac{4L-R^2 C}{4L^2C}}}{(p+\dfrac{R}{2L})^2+\dfrac{4L-R^2 C}{4L^2C}}$
$I(t)=\dfrac{2E_0 \sqrt{C}}{\sqrt{4L-R^2 C}} e^{-\dfrac{R}{2L} t} \sin{(\sqrt{\dfrac{4L-R^2 C}{4L^2C}}t)}$
Подставляем R=15Ом, С=10мкФ $=10^{-5}$Ф, L=7мГн$=7\cdot 10^{-3}$Гн, Е=3В
$I(t)=\dfrac{2\cdot 3 \sqrt{10^{-5}}}{\sqrt{4\cdot 7 \cdot 10^{-3}-15^2 10^{-5}}} e^{-\dfrac{15}{2\cdot 7\cdot 10 ^{-3}} t} \sin{(\sqrt{\dfrac{4\cdot 7\cdot 10^{-3}-15^2 10^{-5}}{4\cdot 49 \cdot 10^{-6} \cdot10^{-5}}}t)}$

$I(t)=\dfrac{6 }{5\sqrt{103}} e^{-\dfrac{15\cdot 10 ^{3}}{14} t} \sin{(\dfrac{5\cdot 10^{3}\sqrt{103}}{14}t)}$
Вроде так)

[Balbes]

Твоя задача разобрана у Ионкина-ТОЭ параграф 6.6

-- 19.12.2014, 10:38 --

[Мироника]

Balbes в сообщении #949331 писал(а):

Твоя задача разобрана у Ионкина-ТОЭ параграф 6.6

Благодарю) Почитала

[Toucan]

Balbes в сообщении #949331 писал(а):

Твоя задача

Balbes, предупреждение за фамильярность. Это Ваш второй рецидив (раз, два), поэтому - три дня отдыха