ТФКП

[TripleLucker]

Здравствуйте. Задали такую задачу решить:
Задано уравнение:

\[{z^4} + (1 + i){z^3} + (44 + i){z^2} + (44 + 7i)z + 7i = 0\]

Нужно найти корни, лежащие в области

\[D = \{ z:|z + 2| > 1\} \]

Решаем с помощью теоремы Руше:

Полиномы аналитичны на всей комплексной плоскости, поэтому сразу перейду к неравенству:
Если |\varphi (z)| < |\psi (z)| на границе области, то \varphi (z) + \psi (z) и \psi (z) имеют одинаковое количество нулей в области с учетом порядков

Так вот. Я взял первые два слагаемых в качестве \varphi (z), а последние 3 в качестве \psi (z). Оценка сверху у первой функции получилась больше, чем оценка снизу у второй. Причем я пользовался только неравенствами треугольника. Видимо, как-то по-другому разбить надо, но как, я не знаю.
Прошу помочь, пожалуйста.

[Slow]

Можно заметить что $z=-1$ является корнем этого полинома и понизить степень, а там уже видно будет что делать.

[TripleLucker]

Slow в сообщении #948352 писал(а):

Можно заметить что $z=-1$ является корнем этого полинома и понизить степень, а там уже видно будет что делать.

О, спасибо! Можете, пожалуйста, сказать, не наврал ли я где-то?

Понизили степень. Получили:

\[{z^3} + i{z^2} + 44z + 7i = 0\]

Теперь делим и оцениваем:

\[|\varphi (z)| = |{z^3}| = |z{|^3} = |z + 2 - 2{|^3} \le {(|z + 2| + 2)^3} = 27\]

\[\begin{array}{l} |\psi (z)| = |i{z^2} + 44z + 7i| \ge ||44z| - |i{z^2} + 7i|| = \\ = |44|z + 2 - 2| - (||i{z^2}| + |7i||)| \ge \\ \ge |44(||z + 2| - |2||) - ({(|z + 2| + |2|)^2} + |7i|)| = \\ = |44(|1 - 2|) - {(1 + 2)^2} - 7| = 44 - 9 - 7 = 28 \end{array}\]

Ну а дальше все понятно. Лишние скобки для более удобного просмотра. А то модули плохо смотрятся.

[Slow]

Ну вроде бы правильно, а какой ответ получился у вас?

[TripleLucker]

Ну $z = - 1$ на границе, его не берем.
${z_{1,2}} = - i(-22 \pm \sqrt {{{22}^2} + 7} )$
Ясно, что эти два лежат вне окружности, т.к. окружность вообще не пересекает мнимую ось
Поэтому, т.к. теорема Руше утверждает, что в замкнутой области количество корней совпадает, то есть, во внутренности круга, у нас 0 корней. То, значит, они все во внешности лежат. 3 штуки. Только третий искать отсюда сложно как-то, получается.

А, искать-то даже и не надо, В задаче нужно найти количество корней в заданной области

-- 17.12.2014, 22:38 --

Извините, пожалуйста. Я наоборот их всегда убирал. Перепутал, видимо, что-то. Исправил последнее.

[Slow]

Ну да, 3 корня вне круга.

[TripleLucker]

Ну хорошо. Спасибо за идею!