Возможно ли решить аналитически? (дифф. уравнение)

[Зангези]

Доброго времени суток.
Столкнулся с интересной задачей, но подступиться к ней не выходит.
Имею дифференциальное уравнение вида $ \frac{df(x)}{dx} = f^{-1} (x) $. Ищу решение на интервале $ x \in [\alpha, \beta] \subset (-\infty , +\infty) $,
для которого известно, что $ f(x) $ монотонна. $ f^{-1}(x) $ - обратная функция для $ f(x) $ ($ f(f^{-1}(x)) = x $).
Возможно ли решить уравнение аналитически? Получил только эквиваленты:
1) $ f(f'(x)) = x $
2) $ f(x) = \frac {1}{2} \cdot f'(f'(x)) \cdot f^2(f'(f'(x))) - \frac {1}{2} \cdot \int f^2(t)dt + const(x)$.
Спасибо за помощь!

[Руст]

Ищите решение в виде $f(x)=ax^{\alpha}$, потом можно попробовать доказать единственность.

[Brukvalub]

А разве нельзя использовать тот факт, что производные взаимно обратных функций - взаимно-обратные числа?

[Руст]

Brukvalub писал(а):

А разве нельзя использовать тот факт, что производные взаимно обратных функций - взаимно-обратные числа?

Нет, это ничего не даст.

[Lion]

Насколько я вижу, нужно продифференцировать обе части, а потом воспользоваться советом Brukvalubа. Вот только тогда получается диффур 2-го порядка, поэтому одну из констант надо найти, подставив реение в исходную задачу.

[Зангези]

Спасибо всем! Ваши советы мне очень помогли.

Цитата:

производные взаимно обратных функций - взаимно-обратные числа

По-моему, это не совсем так:
$f(f^{-1}(x))=x$
$f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x)=1$
$f'(f^{-1}(x))=\frac 1 {(f^{-1})'(x)}$

Цитата:

Ищите решение в виде $f(x)=ax^{\alpha}$, потом можно попробовать доказать единственность.

$f(f^{-1}(x))=x, f(x)=a \cdot x^{\alpha}, f'(x)=a \cdot \alpha \cdot x^{\alpha - 1}.$
$a \cdot (a \cdot \alpha \cdot x^{\alpha - 1})^{\alpha} = x$
$a^{\alpha + 1} \cdot \alpha^{\alpha} \cdot x^{\alpha^2 - \alpha} = x$
$ \left\{ \begin{array}{l} a^{\alpha + 1} \cdot \alpha^\alpha = 1,\\ \alpha^2 - \alpha = 1. \end{array} \right. $
$ \alpha_{1,2} = \frac 1 2 \cdot (1 \pm \sqrt{5})$ и т. д.
Насчёт единственности пока не придумал, но думаю, что справлюсь.
Ещё раз спасибо за помощь! Жаль, что сам не догадался...

[Lion]

Зангези писал(а):

Цитата:

производные взаимно обратных функций - взаимно-обратные числа

По-моему, это не совсем так:

Нет, это так, если производная функции f не равна 0.

Кроме того, Ваша система не имеет решений. Попробуйте поискать решение в виде $f(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(2x+C_1)^{3/2}+C_2$.

[нг]

Lion, Вы не соблаговолите объяснить? А то и у меня получается, что у производные, о которых пишет
Brukvalub, в разных точках.

P.S. $f'(f(x)) = x$, если это как-то помогает. Хотя, помогает уже в том, что легко доказать, что решения вида $f(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(2x+C_1)^{3/2}+C_2$ нет.

[Зангези]

Спасибо ещё раз всем за участие!

Lion писал(а):

Зангези писал(а):

Цитата:

производные взаимно обратных функций - взаимно-обратные числа

По-моему, это не совсем так:

Нет, это так, если производная функции f не равна 0.

Я не спорю с очевидным $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$, я имел в виду только аргументы этого функционального равенства: $\frac{dy}{dx}(x) = \frac{1}{\frac{dx}{dy}(y(x))}$. Собственно то, что я выше и отметил.

нг писал(а):

P.S. $f'(f(x))=x$, если это как-то помогает. Хотя, помогает уже в том, что легко доказать, что решения вида $f(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(2x+C_1)^{3/2}+C_2$ нет.

Спасибо, я так и сделал выше, пользуясь советом Руста о виде функции $f(x)=a \cdot x^\alpha$.

Lion писал(а):

Кроме того, Ваша система не имеет решений.

Система имеет решения $ \alpha = \frac{1}{2} \cdot (1 \pm \sqrt{5})$, $ a = \alpha ^ {- \frac{\alpha}{1+\alpha}} = (\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2})^{-\frac{1 \pm \sqrt{5}}{3 \pm \sqrt{5}}}$. Возможно в записи буквы $a$ и $\alpha$ сливаются, но так всё верно:
$f(x) = \alpha ^ {- \frac{\alpha}{1+\alpha}} \cdot x^\alpha$
$f'(x) = \alpha ^ {\frac{1}{1+\alpha}} \cdot x^{\alpha - 1}$
$f^{-1}(y) = (\alpha ^ {\frac{\alpha}{1+\alpha}} \cdot y)^{\frac{1}{\alpha}} = \alpha ^ {\frac{1}{1+\alpha}} \cdot y^{\frac{1}{\alpha}}$
$ \frac{1}{\alpha} = \alpha - 1 $?
$ \frac{1}{\alpha} = \frac{2}{1 + \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ и $ \alpha -1 = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} $.
Так что $f(x) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})^{-\frac{1 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}} \cdot x^{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$ - решение исходного уравнения.

[незваный гость]

Зангези писал(а):

Спасибо, я так и сделал выше

Выше Вы сделали не так. Вы использовали $f(f'(x)) = x$, а нг дал несколько иное $f'(f(x)) = x$.

Зангези писал(а):

решение исходного уравнения

Одно из решений исходного уравнения. Поскольку никаких дополнительных условий нет, нет и оснований считать, что оно единственное.

Зангези писал(а):

$f(x) = (\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2})^{-\frac{1 + \sqrt{5}}{3 + \sqrt{5}}} \cdot x^{\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}$

Вроде должно упрощаться до $f(x) = (\frac{\sqrt5-1}{2} x)^{\frac{\sqrt5 +1}{2}}$

Зангези писал(а):

Я не спорю с очевидным $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{dy}}$, я имел в виду только аргументы этого функционального равенства: $\frac{dy}{dx}(x) = \frac{1}{\frac{dx}{dy}(y(x))}$.

Sic! (2 Lion)

[Lion]

Мда, что-то я ступил в своем прошлом посте...
Зато вдруг понял, что предложенное уравнение не является дифференциальным!