Доказательство бесконечно большой последовательности

[olsp]

Здравствуйте, при доказательстве возник вопрос:
Нужно доказать, что последовательность б.б.
$Xn=(5^n)/{n^2}$
по определению Xn=|$(5^n)/{n^2}$|>E
Теперь сам вопрос, подскажите, как мне выразить n из выражения (из правой части, без Xn).
Модуль можно убрать, т.к. выражение всегда положительно, пробовал левую и правую часть выразить через логарифм, но всё равно конкретно n выразить не выходит.
Или, может быть, выражение под модулем можно заменить эквивалентным?

[kp9r4d]

Можно, например, придумать последовательность, каждый член которой будет по модулю меньше, чем член этой последовательности, но она всё равно будет неограниченной. И найденное $n$ для новой последовательности будет тем более подходить и для старой.

[patzer2097]

olsp в сообщении #948067 писал(а):

Или, может быть, выражение под модулем можно заменить эквивалентным?

нет, можно просто заметить, что $e^x>1+x$ при всех $x$

[bot]

kp9r4d в сообщении #948071 писал(а):

Можно, например, придумать последовательность

Например, легко доказать индукцией $5^n>n^3$.

[TOTAL]

Или так

$$\frac{5^n}{n^2} > \frac{5^n}{4 \cdot (n-1)^2} > \frac{5^n}{4^2 \cdot (n-2)^2 } > \cdots $$

[olsp]

Всем спасибо. Разобрался. TOTAL, ваш вариант, по моему, хорошо подходит - отдельное спасибо.

[ewert]

Стандартный способ: заметить, что если $x_n=\frac{a^n}{n^b}$, то для некоторого $q\in(1;a)$ выполняется $\frac{x_{n+1}}{x_n}>q$, начиная с некоторого номера, а это очевидно.