Теорвер + ТФФА = задача

[ProPupil]

Надеюсь, пишу в правильный форум, и задача подпадает под "обсуждение нестандартных задач". Нашёл её на просторах сети, и решение довольно интересное у неё.

Пусть $(\Omega, \mathcal A, P)$ - вероятностное пространство, $(X,\|\cdot\|)$ - банахово пространство, $\xi: \Omega \to X$ - измеримое отображение. Доказать, что если $\xi(\Omega)$ сепарабельно, и $\int\limits_\Omega \|\xi(\omega)\|dP(\omega) < \infty$, то существует такой элемент $m \in X$, что

\begin{equation*}\int\limits_\Omega \langle x^\ast, \xi(\omega) - m \rangle dP(\omega)= 0 \quad \forall x^\ast \in X^\ast\end{equation*}

[Oleg Zubelevich]

$m=\int_\Omega\xi(\omega)dP(\omega)$ для того чтоб этот интеграл Бохнера был определен нужна сепарабельность образа $\xi$

[ProPupil]

Сепарабельность образа задана в условии перед интегралом от нормы.

[ProPupil]

P. S. На самом деле существуют обобщения интеграла Бохнера и на случай несепарабельного образа.

Есть следующая теорема.
Пусть $(\Omega, \mathcal A, P)$ - вероятностное пространство, $X$ - банахово пространство, а $\xi: \Omega \to X$ такое измеримое отображение, что $\int\limits_\Omega \langle x^\ast, \xi(\omega)\rangle dP(\omega) < \infty \forall x^\ast \in X^\ast$. Указанный выше элемент $m \in X$ существует тогда и только тогда, когда оператор $T_\xi^\ast$, сопряжённый к оператору $T_\xi: X^\ast \to L_1(\Omega)$, действующему по правилу $T_\xi(x^\ast) = \langle x^\ast, \xi(\omega) \rangle$, отображает $L_\infty(\Omega)$ в $X$