Куна-Таккера

[germ9c]

Решить задачу оптимизации, применив теорему Куна-Таккера

$f(x_1;x_2)=x_1 ^2 +3x_2 ^2 -6x_1 -2x_2 \to$ min

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1 +2x_2\leqslant 6 \\ 2x_1 +3x_2 \geqslant 1 \\ -2x_1 +x_2 \leqslant 0 \\ x_1 \geqslant 0 \\ x_2 \geqslant 0 \\ \end{array} \right.$$

Решение:
$F(x,\lambda) = x_1 ^2 +3x_2 ^2 -6x_1 -2x_2 + \lambda_1 (x_1 +2x_2 -6) +\lambda_2 (-2x_1 -3x_2 +1) +\lambda_3(-2x_1 +x_2)$


$2x_1 -6+\lambda_1 -2\lambda_2 -2\lambda_3 =0$
$6x_2 -2 +2\lambda_1 -3\lambda_2 +\lambda_3 =0$
$ x_1 +2x_2 -6\leqslant 0 $
$-2x_1 -3x_2 +1 \leqslant 0 $
$-2x_1 +x_2 \leqslant 0$


1) первый случай
$\lambda_1 >0$, $\lambda_2 >0$, $\lambda_3 >0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1 +2x_2= 6\\ 2x_1 +3x_2 = 1 \\ -2x_1 +x_2 = 0\\ \end{array} \right.$$

получим $x_2=11$ , $x_1 =\frac{11}{2}$
$\frac{11}{2} + 11 \cdot 2 =6?$ неверно
2) второй случай
$\lambda_1 =0$, $\lambda_2 >0$, $\lambda_3 >0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2x_1 +3x_2 = 1 \\ -2x_1 +x_2 = 0\\ \end{array} \right.$$

получим $x_2=\frac{1}{4}$ , $x_1 =\frac{1}{8}$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2 \cdot \frac{1}{8} -6 -2\lambda_2 -2\lambda_3 =0\\ 6\cdot \frac{1}{4} -2 -3\lambda_2 +\lambda_3 =0\\ \end{array} \right.$$

решаем систему, получаем $\lambda_2 = \frac{-27}{32}$
так как меньше 0. исключаем этот случай из рассмотрения

3) 3 случай
$\lambda_1 >0$, $\lambda_2 =0$, $\lambda_3 >0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1 +2x_2= 6\\ -2x_1 +x_2 = 0\\ \end{array} \right.$$

$x_2 =\frac{12}{5}$
$x_1 =\frac{6}{5}$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2 \cdot \frac{6}{5} -6 +\lambda_1 -2\lambda_3 =0\\ 6\cdot \frac{12}{5} -2 +2\lambda_1 +\lambda_3 =0\\ \end{array} \right.$$

получим $\lambda_3 <0$
исключаем случай из рассмотрения
4) четвертый случай
$\lambda_1 >0$, $\lambda_2 >0$, $\lambda_3 =0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} x_1 +2x_2= 6\\ 2x_1 +3x_2 = 1 \\ \end{array} \right.$$

$x_2=11$
$x_1=-16$
$x_1<0$
исключаем случай из рассмотрения

5) пятый случай
$\lambda_1 =0$, $\lambda_2 =0$, $\lambda_3 >0$
$-2x_1 +x_2 =0$
$x_1 =1$
$x_2 =2$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2 \cdot 1 -6 -2\lambda_3=0\\ 6\cdot 2 -2 +\lambda_3 =0\\ \end{array} \right.$$

$\lambda_3 <0$
исключаем этот случай

6) шестой случай
$\lambda_1 =0$, $\lambda_2 >0$, $\lambda_3 =0$
$2x_1 +3x_2 =1$
$x_1 =\frac{1}{2}$
$x_2 =0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2 \cdot \frac{1}{2} -6 -2\lambda_2=0\\ 6\cdot \ 0 -2 -3\lambda_2 =0\\ \end{array} \right.$$

исключаем этот случай

7) седьмой случай
$\lambda_1 >0$, $\lambda_2 =0$, $\lambda_3 =0$
$x_1 +2x_2 =6$
$x_1=6$
$x_2=0$

$$\left\{ \begin{array}{rcl} 2 \cdot 6 -6 +\lambda_1=0\\ 6\cdot \ 0 -2 +2\lambda_1 =0\\ \end{array} \right.$$

исключаем случай


Где ошибка в моем решении?

[germ9c]

up

[Lia]

germ9c
Замечание за искусственное поднятие темы бессодержательным сообщением.

[мат-ламер]

germ9c
Нет возможности проверить все ваши выкладки. Но попробую дать пару советов. 1) Решите вначале задачу графически. Ещё раз тщательней проверьте вычисление для оптимальной точки, найденной графически. 2) Последние два неравенства - ограничения трактуйте как и первые три.

[germ9c]

через вольфрам точка минимума, удовлетворяющая неравенствам $(\frac{9}{4} ; \frac{13}{12})$
а я нашел точку $(3; \frac{1}{3})$
когда все лямбда равны нулю, даже представления не имею, где ошибка..

[мат-ламер]

germ9c в сообщении #947700 писал(а):

через вольфрам точка минимума, удовлетворяющая неравенствам $(\frac{9}{4} ; \frac{13}{12})$

Допустим это так (не проверял). Тогда на последние два неравенства можно не обращать внимание. Посмотрите, что будет с первыми тремя неравенствами? Вроде они будут нестрогие. Вы этот случай рассматриваете?

[grizzly]

germ9c в сообщении #947700 писал(а):

через вольфрам точка минимума, удовлетворяющая неравенствам $(\frac{9}{4} ; \frac{13}{12})$

У нас, наверное, разные вольфрамы. В моём ответ такой же, какой Вы нашли руками.

[germ9c]

нашел ошибку. в вольфрам неправильно написал, благодарю