Простая линейная алгебра

[studentmk_32]

Здравствуйте. Помогите, пожалуйста, разобраться.
Допустим есть матрица:

$$\left(\begin{array}{l c c} a & 0 & 0\\ 0 & b & ic\\ 0 & -ic & b \end{array}\right),$$

где $a, b, c$ - вещественные числа. Надо сосчитать собственные значения и вектора.
Собственные значения:
$\lambda_{1} = a, \lambda_{2} = b + c, \lambda_{1} = b - c $.
А вот с векторами я что-то туплю.
Например, для $\lambda_{1}$:

$$\left(\begin{array}{l c c} 0 & 0 & 0\\ 0 & b - a & ic\\ 0 & -ic & b - a \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} c_1\\ c_2\\ c_3 \end{array}\right) = 0.$$

Как я понимаю, то $c_1$ произвольно, а вот, что с $c_2$ и $c_3$? Ведь для того, чтобы они нашлись необходимо еще одно условие $(b - a)^2 = c^2 $. И вот это меня ставит в ступор. Что-то важное я забыл из линейки, помоги, пожалуйста.

[patzer2097]

studentmk_32 в сообщении #946917 писал(а):

Например, для $\lambda_{1}$:

$$\left(\begin{array}{l c c} 0 & 0 & 0\\ 0 & b - a & ic\\ 0 & -ic & b - a \end{array}\right) \left(\begin{array}{l} c_1\\ c_2\\ c_3 \end{array}\right) = 0.$$

Как я понимаю, то $c_1$ произвольно, а вот, что с $c_2$ и $c_3$?

Все в порядке, просто надо решить эту систему уравнений. В частности, если $a\neq b-c$ и $a\neq b+c$, то у Вас должно получиться $c_2=c_3=0$.

[studentmk_32]

patzer2097

Ага, спасибо, это я понимаю.
Просто это из задачки по физике и это дополнительно условие меня смущает.
То есть ответ таков (для $\lambda_1$):

$$\left(\begin{array}{l} c_1\\ c_2\\ \frac{ic}{b - a} c_2 \end{array}\right),$$

если $(b - a)^2 = c^2$ и

$$\left(\begin{array}{l} c_1\\ 0\\ 0 \end{array}\right),$$

в противном случае? $c_1$ и $c_2$ - произвольные константы.

[patzer2097]

ну вроде бы все ok

[studentmk_32]

patzer2097

Спасибо Вам, вроде разобрался.