Уравнение Эйлера - способ решения

[Nurzery[Rhymes]]

Хочу понять, как вычисляются производные при решении уравнения Эйлера, так как без понимания все это быстро вылетает из головы. Итак, читаю книгу Демидовича, там есть пример с уравнением второго порядка $x^2 y'' + a_1 xy' + a_2 y = f(x)$. Считая, что $x>0$, положим $x=e^t$. Используя правило дифференцирования функции, заданной параметрически, последовательно находим:

$y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt}:\frac{dx}{dt} = e^{-t}\frac{dy}{dt}$

Хочу разобраться, что здесь произошло, чтобы уметь самостоятельно выводить такие производные любого порядка, а не просто считать, как говорит преподаватель, что мы домножаем и делим на $dt$ - для тех, кто заучивает алгоритм решения механически.

Вспомнил, как находится производная функции, заданной параметрически. Допустим, имеем, что $x$ и $y$ выражаются каким-то образом через $t$, тогда производная находится так:

${y'}_x=\frac{{y'}_t}{{x'}_t}$

Что произошло, когда мы сделали замену $x=e^t$? У нас $y$ - это функция от $x$, а $x$ теперь выражается через $t$ таким образом. Это значит, что теперь $y$ зависит от $e^t$ вот так $y(e^t)$ и ее можно дифференцировать как сложную функцию? Расскажите, пожалуйста, про этот момент и о том, как в общем случае наодить производные более высоких порядков.

-- 15.12.2014, 15:20 --

Сразу взялся решать уравнение: $x^2 y'' + xy' y = 0$
Замена $x=e^t$

${y'}_x = \frac{{y'}_t}{{x'}_t} = \frac{y'}{e^t} = e^{-t}y'$

${y''}_x = \frac{{(e^{-t}y')'}_t}{{(x)'}_t}=\frac{e^{-t}y''}{e^t}=e^{-2t}y''$

Явно получилась ошибка, потому что вторая производная должна иметь вид $e^{-2t}(\frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt})$

[provincialka]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #946764 писал(а):

Это значит, что теперь $y$ зависит от $e^t$ вот так $y(e^t)$ и ее можно дифференцировать как сложную функцию?

Можно. Получим, что $y'_t=y'_x\cdot x'_t=y'_x\cdot e^t$, откуда, в частности, можно выразить $y'_x$.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #946764 писал(а):

${y''}_x = \frac{{(e^{-t}y')'}_t}{{(x)'}_t}=\frac{e^{-t}y''}{e^t}=e^{-2t}y''$

Вы странно дифференцируете в числителе: там же производная произведения.

Кстати, вы дали теме неудачное название, она на самом деле не о том. А о дифференцировании параметрически заданной функции.

[Nurzery[Rhymes]]

provincialka в сообщении #946803 писал(а):

А о дифференцировании параметрически заданной функции.

Да, похоже, моя проблема в этом. Здесь надо многократно дифференцировать функции, зависящие от параметра, а я плохо помню, как это делается. Что можно почитать для уверенного дифференцирования таких функций?

-- 15.12.2014, 16:27 --

Смотрите, мне найти найти такую производную: ${y''}_x = \frac{{(e^{-t}y')'}_t}{{(x)'}_t}$
Как это сделать? В числителе нам надо продифференцировать по $t$ произведение функций, зависящих от $t$. Первая функция $e^{-t}$ дифференцируется легко, а как дифференцировать $y'$? По результатам нахождения первой производной, $(y')_x = e^{-t}y'$. То есть надо дифференцировать все вот это по $t$?

[provincialka]

Вторая функция дифференцируется еще более легко. Ведь после замены вы считаете, что она зависит от $t$. Так что $(y'_t)'_t=y''_{tt}$. В окончательном виде уравнения, где все производные предполагаются только по $t$, можно просто писать $y''$.

А, поняла, почему у вас проблема. Вы в некоторых производных не указываете, по чему она. Здесь это приведет к путанице.

[Nurzery[Rhymes]]

Да, я запутался, как искал эти производные. Думал, где-то производная по $x$ (ведь при нахождении первой производной я и написал, что она по $x$), а где-то по $t$.