Конкретная математика Упражнение 1.9

[korenpw2]

Здравствуйте. Помогите пожалуйста разобраться в доказательстве неравенства методом так называемой обратной индукции.
Краткая суть задачи:

Есть неравенство:
$P(n):x_1\dots x_n \leqslant \left ( \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} \rigth )^n$
Требуется его доказать методом обратной индукции и даже указан путь:
а) $P(2)$ - очевидно выполняется.
б) Из предположения что $x_n=\frac{x_1+\cdots+x_{n-1}}{n-1}$ вывести, что из $P(n)\Rightarrow P(n-1)$.
в)Вывести что из $P(2)$ и $P(n)$ следует $P(2n)$.
г)На чем вообщем-то согласиться, что неравенство доказано.

Собственно вопрос:
Во всем доказательстве смущает один момент: существенно ли предположение для $x_n$ в пункте б): если его убрать, не разваливается ли все доказательство.

[TOTAL]

korenpw2 в сообщении #946699 писал(а):

Собственно вопрос:
Во всем доказательстве смущает один момент: существенно ли предположение для $x_n$ в пункте б): если его убрать, не разваливается ли все доказательство.

Как в неразваленном доказательстве доказывается, что верно $P(5)?$

[korenpw2]

Ну как я понял из хода доказательства, цепочка такая:
$P(2) \Rightarrow P(4) \Rightarrow P(3) \Rightarrow P(6) \Rightarrow P(5) $

[TOTAL]

korenpw2 в сообщении #946712 писал(а):

Ну как я понял из хода доказательства, цепочка такая:
$P(2) \Rightarrow $P(4) $\Rightarrow P(3) \Rightarrow P(6) \Rightarrow P(5)$

Здесь используется пункт б), который доказывается с помощью полагания $x_n= \dots$
Так в чем был вопрос?

[korenpw2]

На каком основании вообще можно делать такое пологание?

[12d3]

На основании предположения индукции. Мы утверждаем, что $P(n)$ верно для любого набора $x_i$, в частности и для такого, что $x_1..x_{n-1}$ - любые, а $x_n=\frac{x_1+...+x_{n-1}}{n-1}$.

[korenpw2]

Согласен. Ситуация прояснилась. Всем спасибо. Особенно 12d3.