Дифференциальное уравнение Дуффинга

[Dmitrii]

Здравствуйте!

Мне необходимо решить дифференциальное уравнение Дуффинга, имеющее следующий вид:

$ \frac {d^2 x} {dt^2 } + x + \varepsilon x^3 = \gamma cos(\Omega t)$.

Я пробовал искать решение по методу малого параметра в виде

$ x = x_1 + \varepsilon^2 x_2$ , но получаются громоздкие выражения, с которыми у меня ничего не получается. Подскажите, пожалуйста, с чего надо начать.

Заранее спасибо

[ИСН]

C $x_1$, разумеется. Что это такое? Вы его нашли?

[Dmitrii]

ИСН в сообщении #946465 писал(а):

C $x_1$, разумеется. Что это такое? Вы его нашли?

Простите, не очень понял. Нашли что именно?

[ИСН]

$x_1$.

[Dmitrii]

ИСН в сообщении #946473 писал(а):

$x_1$.

ok, а алгоритм решения верный, на Ваш взгляд? В таком виде нужно искать решение?

[ИСН]

В каком угодно, смотря чего хотите. Можно и в таком, да.

[dsge]

Dmitrii в сообщении #946461 писал(а):

$ x = x_1 + \varepsilon^2 x_2$ , но получаются громоздкие выражения

Почему $ \varepsilon^2 $? Если есть начальные условия, то ими можно воспользоваться и кое-что упростится.

[Red_Herring]

Dmitrii в сообщении #946461 писал(а):

$ x = x_1 + \varepsilon^2 x_2$

Ну и как же $\varepsilon^2 x_2$ скомпенсирует $\varepsilon x_1^3$?

[ИСН]

А, ну да, разумеется. Это я как-то упустил из виду. Поправки начинаются с первой степени $\varepsilon$.

[Red_Herring]

На самом деле упражнение не для слабонервных даже без правой части: хотя тогда $x_1$ содержит только гармонику с частотой $1$, $x_1^3$ будет содержать гармоники частоты $3$ и $1$—и вот эта даст в $x_2$ члены типа $t\cos(t)$ и $t\sin (t)$.

[Утундрий]

О, сколько граблей расставлено на пути ТС... Сперва ему нужно научиться без ошибок находить решение в виде асимптотического ряда путём прямого разложения. Потом - убедиться, что прямое разложение в случае уравнения Дуффинга не приводит к равномерно пригодному ряду. Потом - понять, что причина неудачи кроется в неизохронности колебаний осциллятора Дуффинга. Потом - разобраться с каким-нибудь методом, позволяющим означенную неизохронность учесть. Например, Линштедта - Пуанкаре.