сумма операторов рождения/уничтожения в некоторой степени k.

[dikiy]

Как меня тут учили, привожу сперва задачу полностью :)

Дан гармонический осциллятор

$$H_0=\frac {p^2}{2m} + \frac {m\omega^2} 2 x^2$$

и агормоническое возмущение

$$H_1=\alpha \frac {m^2 \omega^2}\hbar x^4.$$

Выпишите $H_0,H_1$ во вторичном квантовании и посчитайте корректировки энергий при первом порядке $\alpha$.

--------------------

Для $H_0$ уже известно, что
$H_0=\left(a^+ a + \frac 1 2),$ а для $H_1$ получаем

$$\alpha \frac \hbar 4 (a+a^+)^4.$$

после общеизвестных выкладок в рамках теории возмущений передо мной стоит задача посчитать

$$\frac \hbar 4 \langle l | (a+a^+)^4 | l \rangle$$

$(a+a^+)^4$ раскрыть по формуле с биноминальными коэффициентами нельзя, так как важен порядок операций. Но ввиду ортогональности $|l\rangle$ не равны нулю только члены, в которые $a$ и $a^+$ входят одинаковое количество раз. Таких членов 6 штук. И тут собственно мой вопрос - как можно посчитать это дело без мараниа листа бумаги?

[Red_Herring]

Заметим, что
\begin{multline*} (a+ a^+)^4= (aa^+ + a^+a)^2 + aa a^+a^+ + a^+a^+ aa=\\ (aa^+ + a^+a)^2 + aa^+ aa^+ + a[a,a^+]a^+ + a^+ a a^+a - a^+[a,a^+]a\\ =(aa^+ + a^+a)^2 + (aa^+)^2+(a^+a)^2 + [a,a^+]^2\end{multline*}

[dikiy]

Проще особо не стало... Но все равно спасибо. На будущее запомню приемчик.