2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 16:12 
Есть многочлен $f = x^p-x+a, a\ne 0$, требуется показать, что он неприводим над $\mathbb{F}_p$
Мне удалось показать, что $f(x) \equiv f(x+1)$ и на этом мое решение что-то застопорилось.
Получается, что если $f \equiv gh$, то $a \equiv g_{0}h_{0}$ и наверное надо показать, что один из них должен быть равен нулю, но что-то не выходит.

 
 
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 17:49 
Вообще говоря, есть критерий неприводимости многочлена над конечным полем, и в данном случае можно просто воспользоваться этим критерием. Но можно и развить это соображение:
pooh__ в сообщении #946162 писал(а):
Мне удалось показать, что $f(x) \equiv f(x+1)$
Предположите, от противного, что $f(x)$ имеет нетривиальный делитель $g(x)$. Какие тогда ещё делители будут у $f(x)$?

 
 
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 18:31 
Ну а вот если так:
Пусть $\alpha$ корень нашего многочлена из какого-то расширения(по малой теореме ферма в исходном поле у него корней нет). Посчитав производную убеждаемся, что кратных корней тоже нет. По сказанному выше $\alpha +1, ..,\alpha + p - 1$ тоже корни. Т.е $$g = \prod\limits_{k}^{}(x-(\alpha + s_k))$$.
По теореме Виета(?) $\sum\limits_{}^{}(\alpha + s_k) \in \mathbb{F_{p}} $, что равносильно $deg(g)\alpha \in \mathbb{F_{p}} $ и тут противоречене типо получаем.
Но как-то сомнительно выглядит да и хотелось бы без расширений обойтись.

 
 
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 18:58 
pooh__ в сообщении #946287 писал(а):
Но как-то сомнительно выглядит
Нормально выглядит. Без расширений можно обойтись, если заметить, что вместе с $g(x)$ неприводимыми делителями $f(x)$ будут все $g(x+k)$, $k \in \mathbb{F}_p^*$.

 
 
 
 Re: Неприводимость многочлена над конечным полем
Сообщение14.12.2014, 19:36 
Спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group