Поверхностный интеграл: непонятна поверхность

[Limit79]

Здравствуйте, уважаемые!

Есть такая задачка:

вычислить поверхностный интеграл

$$\iint\limits_{S} x dS$$

где $S$ – часть поверхности цилиндра

$$x=2y^2+1$$

при

$$y \geqslant 0$$

которая вырезана поверхностями

$$x=y^2+z^2, \quad x=2, \quad x=3$$

Долго я мучился с поверхностью, но что-то вроде получилось, но...

Поверхность обведена синим цветом, на рисунке половина этой поверхности при $z \geqslant 0$

(Картинка)

Проекция на плоскость $yOz$ линии пересечения параболоида и цилиндра -- это гипербола

$$y^2+z^2=2y^2+1 \Rightarrow z^2-y^2=1$$

А проекция самой поверхности на эту же плоскость, это вот такая штука

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \leqslant y \leqslant 1, \quad -\sqrt{y^2+1} \leqslant z \leqslant \sqrt{y^2+1}$$

А дальше вроде дело техники...

Если Вам не сложно, подскажите, пожалуйста, верно ли тут что-то?

Спасибо!