В формуле Ньютона-Лейбница требуется непрерывность только подынтегральной функции, первообразная же, написано, может быть любой
Насколько любой? Она ведь дифференцирума, нет? А дифференцируемость не влечёт ли непрерывность? Ну и, в конце концов, та самая первообразная, которая в формуле Ньютона-Лейбница, заведомо непрерывна - это же просто интеграл с переменным верхним пределом от интегрируемой функции.