Замена параметра рациональной параметризации квадрики

[pooh__]

Квадрика имеет две рациональные параметризации
$(x(t),y(t)),(u(s),v(s))$ и $s(t)$ формула замены параметра т.е.
$u(s(t))=x(t),v(s(t))=y(t)$. Надо показать, что $s(t)=\frac{at+b}{ct+d}$

Собственно есть разве, что идея из предположения, что обе параметризации получены проектированием из точки на прямую, доказывать, что сохраняются двойные отношения, но тут я не очень продвинулся.
Вероятно что-то очень простое, но я туплю.

-- 13.12.2014, 18:37 --

И еще чтоб не плодить темы здесь же спрошу:
Если у нас есть рац. параметризация коники и я хочу восстановить ее уравнение.
Я ничего лучше не придумал чем взять 5 точек и строить конику по ним уже. Хотелось бы узнать нет ли ничего лучше?

[nnosipov]

pooh__ в сообщении #945592 писал(а):

Если у нас есть рац. параметризация коники и я хочу восстановить ее уравнение.
Я ничего лучше не придумал чем взять 5 точек и строить конику по ним уже. Хотелось бы узнать нет ли ничего лучше?

Есть, например исключить параметр с помощью результанта.

[Алексей К.]

pooh__ в сообщении #945592 писал(а):

Если у нас есть рац. параметризация коники и я хочу восстановить ее уравнение.
Я ничего лучше не придумал чем взять 5 точек и строить конику по ним уже. Хотелось бы узнать нет ли ничего лучше?

nnosipov в сообщении #945789 писал(а):

Есть, например исключить параметр с помощью результанта.

Указанный nnosipovым способ годится не только для коник, но и для рациональных кривых более высокого порядка,

$$ x(t)=\frac{u(t)}{w(t)},\quad y(t)=\frac{v(t)}{w(t)}.$$

Но я подозреваю, что ища слово "результант" в обычных учебниках или справочниках по математике, Вы потерпите фиаску. И я опять забыл, как оно там называется (определитель В??? Вандермонда?).

Но возьмём Ваш случай второго порядка. Там есть простое решение. Имеем систему уравнений

$$ X\cdot w(t)=u(t),\quad Y\cdot w(t)=v(t).$$

Эта система линейна по $t$ и $t^2$, рассматриваемых как независимые переменные. Решив её, получим $t=g(X,Y)$, $t^2=h(X,Y)$. Приравнивая $(t)^2$ и $t^2$, получаем искомое неявное уравнение $F(X,Y)=0$, а именно $g^2(X,Y)-h(X,Y)=0$.
После этого восторгаемся таким решением и пытаемся разобраться со случаями более высокого порядка, и с этим самым результантом.
Типа на будущее, вдруг тоже приспичит...

[pooh__]

О спасибо большое!
Так и знал, что все не сложно окажется