Определение преобразования по виду матрицы

[Dellghin]

Здравствуйте! Помогите, пожалуйста, разобраться с задачами (они похожи):
1. Выяснить геометрический смысл аффинного преобразования, переводящего вершины тетраэдра в центры тяжести противолежащих им граней. У меня получилось такое преобразование:
$\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & 0 & \frac{1}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$
Далее привёл к виду: $\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$. Как дальше определить геометрический смысл? В ответе: гомотетия с центром в точке $\left ( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right )$ (ну это видно) и коэффициентом $-\frac{1}{3}$.
Как доказать, что это именно гомотетия? Откуда это следует?

И вторая:
Выяснить геометрический смысл аффинного преобразования $\begin{matrix} x'=3x-4y,\\ y'=4x+3y,\\ z'=5z \end{matrix}$. По виду видно, что это поворот, но опять же, как доказать, что это произведение гомотетии с коэф. 5 на поворот вокруг оси $Oz$ на угол $\arccos \frac{3}{5}$ (как вывести этот арккосинус?)?

[provincialka]

Dellghin в сообщении #945548 писал(а):

Как доказать, что это именно гомотетия? Откуда это следует?

Вам геометрически или на матрица? Ну, найдите собственные значения и вектора, что ли.

-- 13.12.2014, 16:22 --

Dellghin в сообщении #945548 писал(а):

гомотетия с центром в точке $\left ( \frac{1}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right )$ (ну это видно)

А почему видно? Я по вашей матрице не вижу
Вы уверены, что правильно ее посчитали?

А координаты у вас какие? Оси вдоль ребер тетраэдра?

-- 13.12.2014, 16:32 --

Подозреваю, что в ответе центром гомотетии является центр тетраэдра. А не центр одной из граней, как у вас.

[Dellghin]

provincialka в сообщении #945558 писал(а):

Вам геометрически или на матрица? Ну, найдите собственные значения и вектора, что ли.

Собственные числа $-\frac13$ и $-\frac23$, собственный вектор $(1,1,1)$.

provincialka в сообщении #945558 писал(а):

А почему видно? Я по вашей матрице не вижу
Вы уверены, что правильно ее посчитали?

Подставить $(0,0,0)$ и получим $(\frac13, \frac13, \frac13)$ (там ещё столбец же).

provincialka в сообщении #945558 писал(а):

А координаты у вас какие? Оси вдоль ребер тетраэдра?

Да.

[provincialka]

Dellghin в сообщении #945572 писал(а):

Подставить (0,0,0) и получим (1/3, 1/3, 1/3) (там ещё столбец же).

Это-то я вижу. Вопрос, что такое, по-вашему, гомотетия. И что такое ее центр.

[Dellghin]

Вижу, что не прав на счёт $(\frac13, \frac13, \frac13)$, но когда выводил, там при подставлении $(0, 0, 0)$ получалось $(\frac13, \frac13, \frac13)$, так как вершина перешла в центр тяжести той грани. Как тогда это исправить?

[provincialka]

Нет, как раз свободные члены у вас посчитаны правильно. Вот матрица не та. Когда та - это сразу видно.
Давайте все-таки постепенно. Ответьте на такие вопросы.
1. В какую точку ваше преобразование переводит вектор $(1;0;0)$?
2. Куда - остальные вершины
3. (это потом):

provincialka в сообщении #945574 писал(а):

что такое, по-вашему, гомотетия. И что такое ее центр.

[Dellghin]

1. $(0, \frac13, \frac13)$
2. $\begin{matrix} (0, 0, 0) - (\frac13, \frac13, \frac13)\\ (0, 1, 0) - (\frac13, 0, \frac13)\\ (0, 0, 1) - (\frac13, \frac13, 0) \end{matrix}$
3. Гомотетия - растяжение плоскости (т.е. $|\vec{OM'}| = k|\vec{OM}|$)
Её центр - точка, координаты которой в ходе преобразования не меняются.

[provincialka]

Dellghin в сообщении #945585 писал(а):

Её центр - точка, координаты которой в ходе преобразования не меняются.

Вот! Но про это потом.
Мы уже поняли, что преобразование имеет вид

$$\begin{pmatrix} x'\\ y'\\ z' \end{pmatrix} = A \begin{pmatrix} x\\ y\\ z \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3}\\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$

Какой вид имеет первое слагаемое (вектор) для каждой вершины (кроме нулевой)? Вычтите из координат векторов $(x',y',z')$ свободный член $(\frac13,\frac13,\frac13)$

[Dellghin]

provincialka в сообщении #945593 писал(а):

Какой вид имеет первое слагаемое (вектор) для каждой вершины (кроме нулевой)?

Не понял...

[provincialka]

Да, старалась быть краткой. Ну, вы нашли, куда переходят вершины? Вот и вычитите из каждой свободный член (векторный, то есть $(\frac13,\frac13,\frac13)$). Получите первое слагаемое. А там и до матрицы $A$ недалеко. Вы ее раньше неверно нашли.

[Dellghin]

Действительно, ошибся. Изначально я забыл вычесть $\frac13$. Вот вроде бы правильная матрица:
$\begin{pmatrix} -\frac{1}{3} & 0 & 0\\ 0 & -\frac{1}{3} & 0\\ 0 & 0 & -\frac{1}{3} \end{pmatrix}$

То есть $\begin{matrix} x'=-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\\ y'=-\frac{1}{3}y+\frac{1}{3}\\ z'=-\frac{1}{3}z+\frac{1}{3} \end{matrix}$. Тогда приравняем старые и новые координаты и получим неподвижную точку гомотетии: $(\frac14, \frac14, \frac14)$ - точка пересечения прямых, соединяющих вершину и центр тяжести противолежащей грани. И отсюда видно, что коэф. гомотетии равен $-\frac13$.
Как быть со второй задачей?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

Dellghin
Оформите, пожалуйста, формулы по всей теме.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[provincialka]

Dellghin в сообщении #945657 писал(а):

Как быть со второй задачей?

А чем можно пользоваться? разве общий вид матрицы поворота на угол $\varphi$ неизвестен?

[Dellghin]

Опять всё просто... $\begin{matrix} x'=5 ( \frac35x - \frac45 y ) \\ y'=5 ( \frac45x + \frac35 y ) \\ z'=5z \end{matrix}$ Надо вынести 5 и тогда понятно, что это поворот вокруг $Oz$ на угол $\arccos \frac35$ и гомотетия с коэф. 5. Спасибо!