Задачи по теме "Идеалы кольца"

[Nurzery[Rhymes]]

Хочу немного подготовиться по алгебре, а для этого решил сделать несколько заданий преподавателя вместо чтения книги, т.к. от этого мало пользы. Возьмусь за решение, а там уже буду искать информацию по необходимости. Вот условие. Напишу две задачи, потому что они выглядят маленькими, по крайней мере на первый взгляд:

1) Определить, являются ли следующие идеалы простыми, максимальными: $I=(X^2 -X +1)$ в $R=R[X]$

2) Определить идеалы кольца $Z_{12}$ и вычислить факторизации по данным идеалам.

Определения:
Идеал называется простым, если фактор-кольцо по нему является областью целостности
Как применить это определение в первой задаче? Построить кольцо по модулю многочлена $X^2 -X +1$, составить таблицу умножения и посмотреть, не будут ли в таблице видны делители нуля?

Максимальным идеалом коммутативного кольца называется всякий собственный идеал кольца, не содержащийся ни в каком другом собственном идеале.

Что такое факторизация по идеалу $I$? Надо составить классы эквивалентности вида $a+I$? Как это сделать?

Помогите разобраться, предложите какие-нибудь идеи для решения, надо, чтобы кто-то направлял меня по ходу разбора задач и решения.

[dikiy]

область целостности - это кольцо в котором отсутствуют делители нуля. В данном случае это означает, что
если

$$pq=X^2-X+1$$

, то или $p=[0]$ или $q=[0].$ Естественно ноль тут - это $X^2-X+1$.

>Надо составить классы эквивалентности вида $a+I$? Как это сделать?

составить все возможные остатки от деления произвольного полинома $p$ на данный полином $X^2-X+1.$

[Deggial]

dikiy в сообщении #945927 писал(а):

>Надо составить классы эквивалентности вида $a+I$? Как это сделать?

dikiy, замечание за неправильное оформление цитаты.