правильное разложение вектора

[drug39]

Обнаружил, что вектор $\mathbf{p}$ на плоскости можно разложить по $n\geqslant 3$ векторам так:
$\mathbf{p}=\frac{2}{n}\left\lbrace(\mathbf{p}\mathbf{e}_1)\mathbf{e}_1+(\mathbf{p}\mathbf{e}_2)\mathbf{e}_2+…+(\mathbf{p}\mathbf{e}_n)\mathbf{e}_n\right\rbrace$,
где $\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2 …\mathbf{e}_n$ – единичные векторы вершин правильного многоугольника с центром в начале координат.
Интересует, где это полезно и встречается.

[arseniiv]

Да ладно, даже если это радиус-векторы вершин произвольного многоугольника (начиная с треугольника), разложение не единственно.

А вот, что интересно (только давайте для нормальности перелезем в аффинное пространство), если вы возьмёте точку $P = \alpha_1P_1 + \ldots + \alpha_nP_n$, и если $\alpha_1 + \ldots + \alpha_n = 1$ (это условие допустимости такой линейной комбинации, чтобы в результате получилась точка. Для вектора сумма коэффициентов должна быть нулевой; другие суммы не определены) и $\alpha_i \geqslant 0$, то $P$ лежит внутри выпуклого многоугольника $P_1\cdots P_n$ или на его границе.

[drug39]

arseniiv в сообщении #943311 писал(а):

… то $P$ лежит внутри выпуклого многоугольника …

это легко видеть из того, что выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей.

arseniiv в сообщении #943311 писал(а):

разложение не единственно

Я и не говорил, что разложение единственное. Интересует именно указанное разложение.

[arseniiv]

(Оффтоп)

drug39 в сообщении #943384 писал(а):

это легко видеть из того, что выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей.

Это видеть и правда легко, но с привязыванием именно полуплоскостей меня чего-то заклинило.