Тригонометрия. Арккосинус синуса

[amoral10]

Здраствуйте, уважаемые форумчане.
Есть такое школьное упражнение:
Решить уравнение $\arccos(\sin(x))=\frac{x}{2}$. В ответ записать значение $\frac{S}{\pi},$ где $S$ -- сумма всех корней уравнения.

Вот что я делаю:
Поскольку $\arccos(x)+\arcsin(x)=\frac{\pi}{2}$, то $\arccos(\sin(x))=\frac{\pi}{2}-\arcsin(\sin(x))$

Имеем:
$\frac{\pi}{2}-\arcsin(\sin(x)) = \frac{x}{2}$

Дальше, я знаю, что $\arcsin(\sin(x))=x,$ если $-\frac{\pi}{2}\leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}$
В таком случае, я нахожу только один корень:
$\frac{\pi}{2}-x=\frac{x}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3}$

А как найти другие корни? Их всего есть три, я их нашел при помощи графика в Maple. Но как это показать аналитически, что-то не могу додуматься.

[provincialka]

А вы график левой части пробовали рисовать? (можно и вручную )

[Henrylee]

Используя ограниченность арксинуса, можно понять в каком отрезке искать корни. И рассмотреть все возможные случаи раскрытия $\arcsin(\sin x)$

[gefest_md]

Есть смысл начинать с определения арккосинуса. Определения надо знать!

[TOTAL]

amoral10 в сообщении #942733 писал(а):

А как найти другие корни? Их всего есть три, я их нашел при помощи графика в Maple. Но как это показать аналитически, что-то не могу додуматься.

Откосинусируйте обе части равенства $\arccos(\sin(x))=\frac{x}{2}$

[amoral10]

TOTAL, вот оно, спасибо!
Все гениальное - просто. Как я этого не увидел?! )))