Пара задач по динамике твердого тела с неподвижной точкой

[tech]

Здравствуйте.
Имеются следующия задачи:
1) Осесимметричный космический аппарат ($A=B\ne C$) вращается относительно продольной оси с угловой скоростью $\omega$. Метеорит, летящий со скоростью $\v$, попадает под прямым углом в точку $D$ оси симметрии аппарата и застревает в ней. Расстояние от точки $D$ до центра инерции $P$ равно $d$. Описать дальнейшее движение системы, считая, что масса метеорита $m$ пренебрежимо мала по сравнению с массой аппарата.

(Оффтоп)

Насколько я понимаю, так как $M \gg m$, то можно считать, что
$1.$ центр масс получившейся системы неподвижен;
$2.$ центр масс этой системы совпадает с точкой $P$.
По той же причине, думаю, можно пренебречь поправками к моментам инерции относительно главных осей и считать их равными $A, B, C$.
Таким образом, имеем: осесимметричное тело с неподвижной точкой движется по инерции $\Rightarrow$ регулярная прецессия.
Я не смог найти угловую скорость вращения тела вокруг собственной оси (назовём эту ось осью $z$).
Формула для неё известна:

$\omega_1=\frac{A-C}{A}r_0$, где $r_0$ - это величина проекции вектора угловой скорости на ось $z$ (которая является постоянной). Но как найти это $r_0$? Или даже более конкретно: почему это $r_0$ равно $\omega$ – угловой скорости аппарата до столкновения? Не понимаю.

2) Твёрдое тело с главными моментами инерции $A>B$, $C=A+B$ движется по инерции вокруг неподвижной точки. Найти максимальное и минимальное значение угла нутации (между вектором кинетического момента и наименьшей осью эллипсоида инерции), если в начальный момент $p=p_0$, $q=q_0$, $r=r_0$.

Пытался найти эти значения из условия $\dot\theta(t)=0$. Тогда кинематические уравнения Эйлера выглядят так:
$p=\dot\psi \sin{\theta}\sin{\varphi}, \ q=\dot\psi \sin{\theta}\cos{\varphi}, \ r=\dot\psi\cos{\theta}+\dot\varphi$
Я пробовал подставлять эти значения в выражения для момента импульса и кинетической энергии, приравнивать их к начальным значениям и что-то там выражать, но через пару часов умер.

Динамические уравнения Эйлера выглядят так:
$\dot p+qr=0, \ \dot q-rp=0, \ (B+A)\dot r+(B-A)pq=0$

Отсюда видно, что существует первый интеграл $q^2+p^2=\operatorname{const}$. В углах Эйлера он записывается достаточно хорошо: ${\dot\psi}^2{\sin{\theta}^2}={q_0}^2+{p_0}^2$. Но дальше этого я продвинуться не сумел.
Подскажите, пожалуйста, что бы в этой задаче можно сделать?

[Oleg Zubelevich]

Вместо $\Gamma$ буду писать $\overline v$.

Сначала общие уравнения. Плюсом будем помечать величины сразу после удара.


Сохранение кинетического момента системы относительно неподвижной точки пространства, которая до удара совпадает с точкой $P$:

$$J_P\overline\omega+m[\overline{PD},\overline v]=J_S^+\overline\omega^++(M+m)[\overline{PS},\overline v_S^+]$$

где $S$ -- центр масс системы сразу после удара,

$$\overline{PS}=\frac{m\overline{PD}}{M+m}$$

; $J_S^+$ -- оператор инерции взятый в центре масс твердого тела "аппарат+ приклеившийся к нему метеорит"; $\overline\omega^+$ -- угловая скорость этого твердого тела

Теорема о движении центра масс системы:

$$m\overline v=(M+m) \overline v_S^+$$

ну а дальше в силу условия задачи $m=\epsilon M$ где $\epsilon$ -- малый параметр, уравнения надо расписывать c точностью до $O(\epsilon)$ включительно-- видимо, это имели в виду авторы,

$$J_S^+=J_P+\epsilon \tilde J+O(\epsilon^2),\quad \overline \omega^+=\overline\omega+\epsilon\overline \nu+O(\epsilon^2)$$

[Munin]

(Оффтоп)

Oleg Zubelevich в сообщении #942672 писал(а):

Вместо $\Gamma$ буду писать $\overline v$.

Страшная угроза. А что такое $\Gamma$?

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #942699 писал(а):

А что такое $\Gamma$?

tech в сообщении #942617 писал(а):

Метеорит, летящий со скоростью $\v$,

tech в сообщении #942617 писал(а):

ачения из условия $\dot\theta(t)=0$. Тогда кинематические уравнения Эйлера выглядят так:
$p=\dot\psi \sin{\theta}\sin{\varphi}, \ q=\dot\psi \sin{\theta}\cos{\varphi}, \ r=\dot\psi\cos{\theta}+\dot\varphi$

не надо этого, откройте учебник и почитайте про случай Эйлера , это и первой задачи тоже касается. Функцию надо минимизировать на совместном уровне двух первых интегралов, задача на условный экстремум.

[Munin]

А. Долго смотрел, но не углядел.

[tech]

У меня получилось найти углы, при которых $\dot\theta=0$. А как доказать, что при этих значениях $\theta$ не обращается в нуль $\ddot\theta$ ?

[tech]

Доказал. Вопрос снят.
Спасибо за помощь.